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由埃丝特·克莱因提出的一个小小的数学之谜导致了另一个意想不到的超越数学的结果，而这个结果将改变她和塞凯赖什的一生。“我确确实实记着这个瞬间，”埃丝特在做出这一发现60年之后说，“我正在家里坐着——我们有一套简单的房子，我和父母住在一起。我有一个角落可以坐下来思考并研究数学。”她正在一块垫板上画几何图形——用直线连接一些随机的点，正在这个时候，她注意到了某种困惑了几何学家们2 000多年的东西。
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为了能够理解埃丝特的发现，我们将不得不暂停片刻来看看几个非常简单的定义。多边形，当然是由直线构成的封闭平面图形——设想一块由边界围住的不规则田地。数学家们把多边形分成两大类：一种是凸的，另一种是非凸的。凸多边形是没有“凹陷”的简单多边形。从数学上讲，可以用两种等价的方式来给凸多边形下更精确的定义。第一种是说，从图形内部测量，由凸多边形两条毗邻的边形成的角小于180度，这就是所谓“没有凹陷”的好听的说法。凸多边形也可以撇开角度概念来定义：连接凸多边形内部任何两个点的直线总是全部落在多边形内（参照图4-3）。如果一个多边形是非凸的，则连接图形内部某些点对的直线将会穿过边界并离开多边形（参照图4-4）。
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图4-3 凸多边形
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图4-4 如果一个多边形是非凸的，则连接图内某两点的直线会穿过边界，越出图形
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埃丝特注意到，如果她在垫板上随机地画5个点，只要任何3点都不在同一直线上，那么其中总有4点构成一个凸四边形（有4条边的凸多边形）的顶点。总是如此！这个奇怪的现象使她感到迷惑。作为一个出类拔萃的问题解决者，她意识到这断言需要证明；仅仅是举出一个例子又一个例子是不够的。她并未花费太长时间就发现了如下的简单证明。
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埃丝特以构造这5个点的“凸外壳”来开始她的证明。所谓凸外壳就是可以画出的最小的包含所有这些点的凸图形。设想在所有点之外围上一个套索，然后将它收紧（参照图4-5和4-6）。绳索将会被阻挡在最外围的点上，因为绳索是围在这些点的外部，它不会有任何凹洞。
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图4-5 凸外壳可通过围住一组点形成
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在最简单的情况下，套索围着4个点。如果这种情况发生，我们已经成功了，因为这4个点确定了一个凸四边形（图4-6）。
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点也可能以如下的方法来排列，即套索围住所有5个点。在这种情况下，我们要做的是连接两个对角线点，如图4-7中的B和D。四边形ABDE显然是凸的。
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图4-6 如果凸外壳形成一个四边形，就成功了
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图4-7 如果这个凸外壳是五边形，则连接两个顶点总能够产生一个凸四边形ABDE
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唯一剩下的可能情况是，点以这样的方式来排列，套索只能围到其中的3个。(5)可以证明在这一情形下我们也不难找到一个凸四边形。
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过三角形内部两点A和B画一条直线。显然，三角形必有一条边位于此直线的一侧。在我们的图形中这些点就是D和C。你能看出四边形ABCD是凸的。
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图4-8 如果这个凸外壳是一个三角形，可以画出一个凸四边形ABCD
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Quod erat demonstrandum.我们成功了。我们已经分析了5点的每一种可能的排列方式并证明了每一种排列方式是如何包含一个凸四边形的。
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对埃丝特来说，这个证明简直是“像儿戏一样简单”。她认识到，有意思的是：“这是一种新问题。我想那就是它的真正价值。”埃丝特难题把几何学与组合学结合了起来。组合学是与计数有关的数学分支。爱多士可能是20世纪最重要和最多产的组合学家，其厚厚的有关此学科的经典论文集名叫《计数的艺术》（The Art of Counting）。在爱多士之前，组合学只是一堆为数不多和互不关联的技巧与问题。伟大的数学家偶尔会涉猎组合学，但他们大部分的精力花费在其他领域之中。在这个世纪里，多亏爱多士，这个学科才作为一个有自己的权利、自己的教科书和期刊及国际会议的数学领域而出现。组合学对通信网络及计算机设计也很重要，而且几乎在科学技术的每一个分支中都有应用。爱多士在这些领域的影响尽管间接但却是巨大的。例如，已经有了专门研讨爱多士对计算机科学的兴趣的会议，尽管他从未写过一篇与计算机有关的论文。他也是贝尔实验室数学小组备受尊敬的常客，尽管他从未写过一篇有关通信网络的论文。对爱多士来说，研究组合学也像所有其他的兴趣一样，是为数学而研究数学。爱多士对这个领域的兴趣正是从埃丝特的问题开始的。
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