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图4-1 欧拉1736年论文中的哥尼斯堡七桥图
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欧拉所做的第一件事是，通过消除哥尼斯堡地图上的非必要元素把这个问题翻译成更容易进行数学分析的形式。他把大片陆地压缩成点，现代图论学家称其为顶点。连接大片陆地的桥称为线，在图论中通常称之为边。结果就得到问题的一种抽象表述形式即“图”（graph）：
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图4-2 从欧拉的哥尼斯堡地图抽象得到的基本图
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欧拉获得的重要观察结果是，一个与陆地相对应的顶点，除非作为散步的起点或终点，否则就必然会放射出偶数个顶点。原因很简单：因为每一条边即每一座桥只能走过一次，对于每一条进入顶点的边，一定有一条离开顶点的边与之相对应。因此，有奇数条边交于其上的各顶点即有奇数度的顶点必须是散步的起点或终点。现在看一下这个图，你就能迅速确定，所有4个顶点都是奇数度（顶点C、B和D是3度，A是5度）的。因为一次行走只能有一个起点或终点，欧拉于是自信地断言，哥尼斯堡人要求的那种散步方法是不可能的。作为一个真正的数学家，欧拉继续提出并解决了一个形式更为一般的桥问题，从而显示了数学抽象的力量。“以上述论证为基础，我为自己提出了如下经过推广的问题，”欧拉写道，“给定一条河流及其可能分出的支流的构形，同时给定桥的数目，确定是否可能走过每座桥仅仅一次。”
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几乎整整200年之后，瓦佐尼试图把哥尼斯堡七桥问题推广到更复杂的具有无限多个边和顶点的图。欧拉未能做出这一推广，也许是因为无限的概念一直到19世纪末才由康托尔赋予精确的数学形式。在他们第一次会面的时候，爱多士已经向瓦佐尼介绍了康托尔的无限集理论，这个学科深深地吸引着爱多士，以至于为了表达对伟大的康托尔的崇敬，他喜欢在给别人的信上写上“C.（康托尔）与你同在”。瓦佐尼已经解决了无限哥尼斯堡桥问题的一半——他已经发现了存在这种走法的必要条件，但它们并不充分。“我过去习惯于每天与爱多士见一面，那天却犯了一个致命的错误：把我的发现通过电话告诉了他，”瓦佐尼回忆，“我说致命是因为20分钟后他给我回电话告诉了我充分条件的证明。‘真该死，’我想，‘现在我得与他写一篇合作论文了。’”瓦佐尼确信，如果再多给他一点点时间，他就应该能够自己发现问题的解。然而回想此事，他倒为自己未能独立发现问题的解而感到高兴，因为在数学世界里，会有贵族的标签贴在那些与爱多士合写过论文的人身上。但是即使在爱多士出名之后，他对解题的热望以及在解题时表现出来的敏锐头脑，也引起了那些热衷于单独研究的数学家们的忌恨。稍后我们会看到，曾经有一个事件引发了一场争论，这场争论将引起数学界的分裂并给爱多士的学术生涯留下伤疤。
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与爱多士合写论文可能会有超越数学世界的结果。1935年，图兰与爱多士合写了一篇有关数论问题的论文，发表在俄国的《托木斯克数学与力学研究所通报》上。10年以后，在战后的布达佩斯，有一次图兰被一个苏维埃巡警拦住了。斯大林命令他的解放者们在大街上随机地把男人们拘起来，用船运到某地去做苦力。士兵命令图兰出示证件。几天前躲避另一次围捕时图兰就已丢失了身份证，但当他把手伸进手提箱时发现了一份与爱多士合写的论文。图兰把这篇论文交给这个士兵，这个士兵知道图兰在苏维埃出版物上发表过文章后颇受震动，于是让他走了。后来图兰把这事作为“数论的惊人应用”一本正经地向爱多士做了汇报。
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由埃丝特·克莱因提出的一个小小的数学之谜导致了另一个意想不到的超越数学的结果，而这个结果将改变她和塞凯赖什的一生。“我确确实实记着这个瞬间，”埃丝特在做出这一发现60年之后说，“我正在家里坐着——我们有一套简单的房子，我和父母住在一起。我有一个角落可以坐下来思考并研究数学。”她正在一块垫板上画几何图形——用直线连接一些随机的点，正在这个时候，她注意到了某种困惑了几何学家们2 000多年的东西。
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为了能够理解埃丝特的发现，我们将不得不暂停片刻来看看几个非常简单的定义。多边形，当然是由直线构成的封闭平面图形——设想一块由边界围住的不规则田地。数学家们把多边形分成两大类：一种是凸的，另一种是非凸的。凸多边形是没有“凹陷”的简单多边形。从数学上讲，可以用两种等价的方式来给凸多边形下更精确的定义。第一种是说，从图形内部测量，由凸多边形两条毗邻的边形成的角小于180度，这就是所谓“没有凹陷”的好听的说法。凸多边形也可以撇开角度概念来定义：连接凸多边形内部任何两个点的直线总是全部落在多边形内（参照图4-3）。如果一个多边形是非凸的，则连接图形内部某些点对的直线将会穿过边界并离开多边形（参照图4-4）。
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图4-3 凸多边形
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图4-4 如果一个多边形是非凸的，则连接图内某两点的直线会穿过边界，越出图形
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埃丝特注意到，如果她在垫板上随机地画5个点，只要任何3点都不在同一直线上，那么其中总有4点构成一个凸四边形（有4条边的凸多边形）的顶点。总是如此！这个奇怪的现象使她感到迷惑。作为一个出类拔萃的问题解决者，她意识到这断言需要证明；仅仅是举出一个例子又一个例子是不够的。她并未花费太长时间就发现了如下的简单证明。
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埃丝特以构造这5个点的“凸外壳”来开始她的证明。所谓凸外壳就是可以画出的最小的包含所有这些点的凸图形。设想在所有点之外围上一个套索，然后将它收紧（参照图4-5和4-6）。绳索将会被阻挡在最外围的点上，因为绳索是围在这些点的外部，它不会有任何凹洞。
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图4-5 凸外壳可通过围住一组点形成
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在最简单的情况下，套索围着4个点。如果这种情况发生，我们已经成功了，因为这4个点确定了一个凸四边形（图4-6）。
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点也可能以如下的方法来排列，即套索围住所有5个点。在这种情况下，我们要做的是连接两个对角线点，如图4-7中的B和D。四边形ABDE显然是凸的。
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图4-6 如果凸外壳形成一个四边形，就成功了
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