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这样猜测的根据是什么呢？为什么有些人能直觉地感到一个正方形怎样分割是可能的，怎样分割是不可能的？通常说来这种直觉依赖于长时间漫不经心的思考和反复试验。尽管数学证明靠的是纯逻辑，但从广义上来说，数学本身却是一门观察性的科学。对于上述猜想，爱多士也许是受其首先观察到的三维问题影响。令人惊奇的是，很容易证明出一个立方体不能够分成有限个彼此不同的小立方体。
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假设一个立方体可以分成大小不同的小立方体，那么这个立方体的每个面就会被分成大小不同的正方形，它们是外层立方体的底部。集中考察其中的一个面，尤其是面上最小的正方形。它不能位于这个面的一角，否则沿着这个小正方形的两条内边不能再有较大的正方形，除非它们完全重合。它也不能沿着这个面的一条边，因为如果是这样的话，这个小正方形将被夹在2个较大正方形中间，而与这个小正方形相邻的2个较大正方形伸出来的部分将围成一个宽为小正方形边长的区域。只有用更小的正方形才能填满这个区域，但是根据假设，不存在这样的正方形。因此，这个小立方体只能朝向面的中间部分，四周由较大立方体表面的正方形包围着。这意味着小立方体的顶部就像回廊环绕的院子，周围是与它相邻立方体的表面所围成。而且它的顶部就像最初的面一样，必须有更小的立方体覆盖。不断重复上述论证过程：这些立方体中最小的必须有更小的立方体将它覆盖，一直继续下去，就像斯威夫特（Jonathan Swift）的跳蚤歌：
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博物学家观察到一只跳蚤
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它被小跳蚤们咬食
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小跳蚤又成为更小跳蚤的佳肴
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如此下去，永无穷尽。
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因此，一个立方体不能分成有限个彼此不同的小立方体。
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尽管上述论证并不适用于二维的情形，但是爱多士的几何直觉告诉他一个正方形进行类似的分割也是不可能的。一位名叫迪安（W. R. Dean）的剑桥大学的讲师听说了爱多士的猜想，并把它讲给那些经常听他谈论数学的中学生听。后来成为爱多士的朋友和合作者的阿瑟·斯通就是这些学生当中的一个，他对这个问题很感兴趣——但是直到很多年后，他才知道这个猜想来自爱多士。
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斯通获得了剑桥三一学院的奖学金，在那里他和两位数学同行塞德里克·史密斯、布鲁克斯（R. Leonard Brooks）及一位正在攻读化学的威廉·图特（William Tutte）成为好友。史密斯后来写道：“尽管我们知道我们是真正的数学家，但我们思维开阔足以和一些纯化学家谈论。”除此之外，史密斯还是一位下棋高手。图特很快就设计独特的数学问题难住了他的新朋友，从而在他们中间赢得了数学声誉。
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斯通回敬朋友们的方法是，告诉他们爱多士的猜想——把一个正方形分割成不同的小正方形，虽说斯通没有解决这个问题，但却使这个问题更具吸引力。他们4人在接下来的3年里猛攻这个猜想。
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他们的第一个突破是发现一个矩形可以分割成大小不同的正方形，然而后来得知一位名叫莫伦（Moroń）的数学家已于1925年抢先发现了这个结果。他们发展了一种寻找此类矩形的奇妙方法，将问题简化为电路分析，最后找到了几个这样的矩形，可惜没有正方形。
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尽管他们所发现的矩形看起来很吸引人，但是很长一段时间里他们没有丝毫进展。布鲁克斯把其中一个矩形分割成一些小正方形形成一个拼板玩具，然后让他的母亲去拼，他母亲成功地拼出一个矩形。令人惊奇的是，他母亲拼出来的矩形与原来布鲁克斯切割前的不是同一个，就好像给他母亲的是帝国大厦的拼板，她却拼出一个布鲁克林大桥的图案，一定有一些新的东西在起作用，但那是什么呢？
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图特经过冥思苦想，最终给出了一个解释。布鲁克斯母亲的发现揭示了基本方程的一种对称性，它很快帮助这些学生获得了将一个正方形分割成不同小正方形的一种方法。爱多士是真的错了。然而不幸的是，他们再次被人抢了先，这一次是数学家斯普拉格（R. P. Sprague），领先不到一年。在以后的时间里，人们不遗余力地研究着这个众所周知的正方形分割问题。1978年，杜伊维斯丁（A. J. W. Duijvestin）发现，一个正方形分割成不同小正方形的最少个数是21。他的分割方法如图5-1所示。
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图5-1 可被分割成大小不等的正方形的正方形个数最小值
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1939年，英国学术界的就业前景不容乐观，史密斯记得曾偶然碰到了图特的一位导师达夫（Patrick Duff），他问史密斯：“你认识图特吗？”
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“我认识。”史密斯答道。
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“我们很担忧，他不太顺利。”
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“他拿了一等成绩。”
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“他的导师对他很失望。”
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