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他们的第一个突破是发现一个矩形可以分割成大小不同的正方形，然而后来得知一位名叫莫伦（Moroń）的数学家已于1925年抢先发现了这个结果。他们发展了一种寻找此类矩形的奇妙方法，将问题简化为电路分析，最后找到了几个这样的矩形，可惜没有正方形。
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尽管他们所发现的矩形看起来很吸引人，但是很长一段时间里他们没有丝毫进展。布鲁克斯把其中一个矩形分割成一些小正方形形成一个拼板玩具，然后让他的母亲去拼，他母亲成功地拼出一个矩形。令人惊奇的是，他母亲拼出来的矩形与原来布鲁克斯切割前的不是同一个，就好像给他母亲的是帝国大厦的拼板，她却拼出一个布鲁克林大桥的图案，一定有一些新的东西在起作用，但那是什么呢？
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图特经过冥思苦想，最终给出了一个解释。布鲁克斯母亲的发现揭示了基本方程的一种对称性，它很快帮助这些学生获得了将一个正方形分割成不同小正方形的一种方法。爱多士是真的错了。然而不幸的是，他们再次被人抢了先，这一次是数学家斯普拉格（R. P. Sprague），领先不到一年。在以后的时间里，人们不遗余力地研究着这个众所周知的正方形分割问题。1978年，杜伊维斯丁（A. J. W. Duijvestin）发现，一个正方形分割成不同小正方形的最少个数是21。他的分割方法如图5-1所示。
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图5-1 可被分割成大小不等的正方形的正方形个数最小值
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1939年，英国学术界的就业前景不容乐观，史密斯记得曾偶然碰到了图特的一位导师达夫（Patrick Duff），他问史密斯：“你认识图特吗？”
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“我认识。”史密斯答道。
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“我们很担忧，他不太顺利。”
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“他拿了一等成绩。”
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“他的导师对他很失望。”
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“哦，他的数学很好。”
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“请证明。”达夫要求道。
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史密斯给三一学院的行政官员写了一封信，他希望这是对图特能力的一个很好的证明。其中最重要的一个证据是图特否定了爱多士的猜想。三一学院的老资格学者们对此是否留下了印象，他们从来没有透露过。然而当第二次世界大战爆发时，图特应征参与了在布莱奇利庄园（Bletchley Park）的一个秘密军事计划，这里招来的都是英国最优秀的数学家。其中包括艾伦·图灵。很显然，史密斯的信引起了重视。
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德国人所依仗的是由所谓的“谜语机”（Enigma Machine）产生的密码Ultra和Triton的安全性。当这种机器运送途经波兰时，波兰人对其做了检查，而他们对此设备的重新安装为布莱奇利庄园的数学家提供了一个理解密码的好机会。由于密码时常变动，所以破译密码是十分困难的。史密斯写道：“一个很合理的传闻说图特为密码的破译提供了重要的线索。”按照史学家保罗·约翰逊（Paul Johnson）所说，早在1940年，“破译Ultra密码为赢得不列颠战役的胜利起到了关键的作用；更为重要的是，1943年3月布莱奇利庄园的数学家们对Triton密码的破译使太平洋战场的胜利成为定局”。对德国潜水艇艇长电文的解密则使得盟军能够截获和捣毁德军的物资供应船只。即便不能说是英国的数学家使这场战争获得了胜利，也可以说是他们缩短了战争的进程。“文明得以拯救，而这一切始于爱多士的猜想，”史密斯说道，“即使爱多士猜想不是直接甚至间接地挽救了西方文明，它也像他的其他许多猜想一样发挥了应有作用：它开动了人的思维，改变了人的一生。”
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在对剑桥大学简短访问之后，1934年10月爱多士转到曼彻斯特大学与莫德尔一起共事。20世纪初，莫德尔这位痴迷于数学的少年进了费城中心中学，他把全部心思用于从当地书摊低价淘来的数学旧书中，其中一些书含有供剑桥大学荣誉学位考试的富有启发性的考试题，这激发了莫德尔报考剑桥大学的决心。经过2年中学的拼搏后，莫德尔凑够去英格兰的旅费，到了英格兰他首先专心于剑桥大学奖学金的考试。莫德尔从此开始了数论这一崇高的职业生涯，关于数论的知识他大部分是自学的。因为在当时，英国数学家很少有搞数论的。莫德尔最著名的成就是“莫德尔猜想”，后来由法尔廷斯（Gerd Faltings）在1984年给出证明。这个猜想最终导致了安德鲁·怀尔斯对于费马猜想的证明。
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1922年莫德尔接管数学系担任系主任时，曼彻斯特大学作为数学研究中心已经享有盛名，在他的领导下又进而发展为数学界的领导核心。莫德尔吸引众多的外国访问学者来曼彻斯特大学讲学。像爱多士一样，他们也是为了逃避本国愈演愈烈的暴行。拉多和达文波特在爱多士4年的停留期间也聚集到曼彻斯特，在此期间爱多士所写的论文大部分是数论方面的，从中可以看出莫德尔召集来的数学家的口味和爱多士本人的爱好。事实上，爱多士的前60篇文章——远比大多数数学家一生所写的还多——除2篇之外，其余全部是关于数论的。
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爱多士早期论文中数论的主导地位表明了他对高斯称之为“数学皇后”的这一领域的钟爱，另一方面也暗示了即使是像数学这样的推理性学科也同样追求流行。爱多士对图论的兴趣可以追溯到和德奈什·柯尼希（Dénes König）做同学的时候。他对图论的近亲组合论的爱好，是由“幸福结局问题”引发的。大多数数学家瞧不起图论，把它视为“拓扑的贫民窟”，组合论则被贬为更不受重视的旁支，偶尔兴之所至前去做客还是不错的，但是没有有名望的数学家愿意长久地待在那里。
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但爱多士甚至在关于数论方面的文章中也会塞进一些图论。1938年爱多士写了一篇题为“关于每一项都不能分成另外两项之积的整数列及一些相关问题”的论文，题目已经很好地表述出文章的内容，至少是尽可能地表达了。这篇文章值得称道的是爱多士把纯数论问题归结为寻找具有某种性质的图形问题，从而把没有什么共性的两个领域联系在一起，在这个过程中强调一个领域的同时也就赋予了另一个领域以尊重。这篇文章是很引人注意的，因为它是爱多士没能看出他自己工作真正意义的极少例子之一。
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爱多士没有料到他在1938年关于整数列的这篇论文中所解决的图论问题竟然是极值图论这一新领域的范例。极值图论中最简单的例子是：考察有n个顶点的图形，若在这个图形中不能包含三角形，那么它最多能有多少条边？对于有4个顶点的图形，答案显然是4，4条边构成一个矩形；第5条边将是矩形的对角线，它把矩形分成2个三角形（参照图5-2）。
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图5-2 在有4个顶点、5条边的图形中，必然有一个三角形
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一般的情况是，如果边数至多是顶点数平方的四分之一，那么在这个图形中就不存在三角形，证明这个结果并不特别困难（虽然也超出了本书的范围），但是如果要避免的不是三角形而是四边形，证明就变得困难多了。两年来，保罗·图兰逐渐感到这些极值问题——与形成结构的极值有关的问题——是如此引人入胜、魅力无穷和丰富多彩，它们本身是很值得研究的。他的一篇论文构成了极值图论这一新学科的基础。爱多士成为极值图论的领袖之一，在这一领域里到处充满他的定理和猜想。但爱多士仍旧很自责，因为他一直觉得自己“本来应该发明”他所支配的这一领域。
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爱多士会把他的失误和发明阴极射线管的物理学家克鲁克斯（Sir William Crookes）相提并论，克鲁克斯发现他的管子使密封在不透光封袋里的感光胶卷变模糊了。爱多士评论道，他根据这一观察得到的结论是人们不应该把胶卷放在阴极射线管附近。几年后，伦琴（Wilhelm Roentgen）以同样的方式弄坏了一些胶卷，而这个经历却导致他发明了X射线机。教训是什么呢？按照爱多士的看法，“适当的地点适当的时间还不够，你还应该在适当的时间有开放的思维”。
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爱多士另外一篇在组合论中引用图论的文章是他在曼彻斯特与拉多和一位年轻的中国数学家柯召合写的论文，这篇文章包括了著名的爱多士-柯-拉多定理。这篇文章写于1938年，但部分地因为当时数学界对组合论缺乏兴趣，所以迟至1961年才得以发表，成为一篇“瞬时经典”。
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