1705580690
在娱乐和游戏之外，哈尔莫斯、爱多士和其他科学家完成了数量惊人的工作。在爱多士传奇式的多产研究生涯中，研究所的一年半尤为突出。在所观察的每一领域，他都发现了要解决的问题并找到了要合作的同行。爱多士天生的数学才能甚至令研究所的那些精英都感到惊讶。曾经有一次，在“法恩楼”（Fine Hall）的公共休息室里，爱多士不经意地听到两位数学家在讨论维数论中的一个问题，这是拓扑学的一部分。而爱多士当时对此几乎一无所知。这两位数学家正在拼命地思索希尔伯特空间里有理点集的维数这个未解决的问题。那是什么意思并不重要，就连爱多士都没弄明白。想试运气的人会说答案要么是0要么是无穷大。而站在黑板旁的两位数学家——霍维茨（Witold Hurewicz）和沃曼（Henry Wallman），他们都是此领域的领头专家——对这问题却没有取得丝毫进展。
1705580691
1705580692
“什么问题？”爱多士问道。两位数学家被突然打断，显得有点不耐烦，他们很快地做了解释。
1705580693
1705580694
“维数是什么意思？”然后他又问道，显示出不可救药的无知。他也不清楚希尔伯特空间是怎么回事。为了让这位闯入者安静下来，沃曼匆匆说了一下维数的定义。他们如释重负，爱多士终于走了。但1小时之后他带着问题的答案回来了。令两位专家吃惊的是，答案竟然是1。爱多士的论文一年后发表了，哈尔莫斯写道，这是“对一个在数月前他还一无所知的学科的重要贡献”。
1705580695
1705580696
爱多士一直把他在普林斯顿的那一年描述为他生涯中最为成功的一年。他继续发掘关于整数的那些出人意料的奇妙结果。例如，经过独自的努力，爱多士证明了任意多个连续整数之积不是一个完全平方数。结论看起来既简洁又清晰，使人再度信服数学结构的有序性。但是在同年的一篇标志着他的一项重大成果的文章里，爱多士阐述了在整数的表面规则的背后实际隐藏着混乱。当研究所最著名的居民爱因斯坦正在设法否定量子论从而证明上帝不会拿宇宙开玩笑时，爱多士与一位年轻的波兰数学家卡茨（Mark Kac）却证明“最高法西斯”正在与整数开玩笑。
1705580697
1705580698
卡茨是刚从波兰来到这里的，他在约翰·霍布金斯大学与温特纳（Aurel Wintner）一起搞概率论方面的研究，后者是1930年移居美国的一位匈牙利数学家，然而数学不是卡茨来到这里的唯一原因。当时欧洲盛传一个笑话，一个人问另外一个人：“你是雅利安人吗，或者你正在上英语课吗？”卡茨不是雅利安人，因此在来巴尔的摩之前，他匆匆地、有点随意地学了一些英语。他的数学词汇量很大，但在吃饭时却遇到了麻烦；在餐馆里他点到的菜跟他想要的总是天差地别。他老在当地的一个杂货店里解决午餐，学会了跟着别人说“奶油芝士三明治和咖啡”，而且很清晰。服务员每一次都要问：“On toast？”(1)这超出了卡茨的语言能力，他傻乎乎地笑了一下，像是在思考。后来他查了一下袖珍词典，发现“toast”还有这个意思：“先生们，国王在此！”“从逻辑上来说，我想‘On toast’应该是某种敬称，我一直以为是这样。”卡茨写道。又过去了两周，每一次侍者都要问：“On toast？”他总是彬彬有礼地点一下头然后回答：“On toast！”一段时间后，卡茨感到有点不对，于是请教他的一位朋友。等他笑够之后，他的朋友问道：“你为什么不否定一次呢？这样你不就很快能知道‘On toast’是什么意思了？”“我不想冒不礼貌的危险。”卡茨回答道，随后又笑了。
1705580699
1705580700
当卡茨在波兰跟随伟大的数学家斯坦因豪斯（Hugo Steinhaus）学习时，他就被概率论深深吸引了，尤其是正态分布，后来的学生都很清楚它是一个近似于钟形的曲线。对无论哪一领域的随机事件，这一钟形曲线都会有类似的凸起。如测量一组12岁孩子的身高：大部分人都集中在平均值左右，当身高与平均值离得越远，高个子和矮个子的人数越少。同样的曲线也可以描述人类的智商分布——多数人的智商都在曲线的峰点100附近，像研究所爱多士那些人应该分布在峰点右侧的一个狭窄区域。人的寿命和掷钱币也可以用正态分布来描述。古老楼梯的光滑踏板由于多年无数次的践踏而被磨损，呈现出倒置的钟形。中间凹陷的部分最深，因为大多数的人都踩在中央，而两边则逐渐变浅，这是数学原理的物理表现。
1705580701
1705580702
正态分布是法国数学家棣莫弗（Abraham De Moivre）于1733年发现的。1685年棣莫弗18岁的时候，路易十四取消了过去颁布的南特诏书，这是一份在天主教为主体的法国保证那些新教徒公民权利的诏书。棣莫弗是一个新教徒，为追求他的信仰而被打入监狱。两年后获释，出狱后他从法国逃亡到了英国。而在英国，1688年的“光荣革命”之后，法律剥夺了那些天主教徒的权利。棣莫弗定居在英国，却无法获得一个学术职位。因此他主要靠教数学来维持自己的生活。几乎每天下午，在他讲完课之后，都能在圣马丁巷的斯劳特咖啡馆找到他。他在这里向那些掷骰子、玩牌和卖保险的赌徒们卖弄他在概率问题上的专长。
1705580703
1705580704
棣莫弗对赌徒们急于想知道的一个问题非常感兴趣：如何鉴别一枚硬币是否公正？一枚公正的硬币落在地上时正面向上的可能性和正面向下的可能性应该是一样的。抛100次硬币应该发生50次正面向上。但那只是一个平均值，有时可能是43次向上，有时可能是62次。事实上，介于0到100之间的任何结果都是可能的，但是有些结果是不太可能的。判断是否公正的关键是要知道各种结果的可能性。在汤姆·斯托帕德（Tom Stoppard）的话剧《罗森克兰茨和吉尔登斯特恩之死》(2)中，两个主角用掷硬币来赌，这枚硬币也许是公平的也许不是。吉尔登斯特恩赌反面向上，当硬币连续85次正面向上落在地上时，可以理解吉尔登斯特恩沮丧的心情。他质问罗森克兰茨，但对方看起来并不觉得有什么不妥。
1705580705
1705580706
吉：没有问题吗？不停一下吗？
1705580707
1705580708
1705580709
1705580710
罗：是你自己掷的呀？
1705580711
1705580712
吉：没有一点疑问吗？
1705580713
1705580714
罗：哦，我赢了——不是吗？
1705580715
1705580716
吉：但是如果你输了呢？如果它们反面向上，就像刚才那样，一个接着一个，连续85次反面向上？
1705580717
1705580718
罗：连续85次反面向上？
1705580719
1705580720
吉：是的！你会怎么想呢？
1705580721
1705580722
罗：嗯……嗯，那我首先要仔细看看你的硬币！
1705580723
1705580724
涉及自身利益时，数学发挥了作用。吉尔登斯特恩说：“抛硬币时平均结果的稳定性依赖于一个原理或者毋宁说是一种趋势，或者让我们说是一种概率，无论如何，它实质上就是数学上可以计算的机会，能确保你不会输得太多而使自己沮丧，也不会赢得太多而使对手灰心。”棣莫弗的正态分布也许可以解释吉尔登斯特恩关于硬币被扭曲的怀疑，它给出了当一枚硬币被多次抛掷时各种期望结果的概率分布。
1705580725
1705580726
借助于他的朋友牛顿最近发现的微积分知识和帕斯卡（Blaise Pascal）的计算技巧，棣莫弗发现了连续抛很多次硬币的每种可能结果的概率。正如所预料的，方程描绘了一条曲线，正面向上次数和反面向上次数相等处为曲线的峰点，而在峰点的两侧对称地下落。峰点任意一侧的正态曲线形如一座适于滑雪的小山。最初下落很陡，然后渐渐变得平缓。正面向上的次数介于30到60之间的概率，很简单，就是两个上下限间的曲线以下的面积。
1705580727
1705580728
从正态分布曲线很容易看出，几组硬币的结果都集中在中央峰点周围的一个狭窄区域，峰点代表期望值。抛一枚硬币100次，平均期望值或者说中间值是50次正面向上。但是偏离这个中间值的各种结果也可能出现，为了使这种偏离定量化，棣莫弗发明了度量这些偏离的可能范围的一个概念，即所谓标准差。在正态分布中大约所有观察结果的2/3——68%——落在中间值的一个标准差范围内，95%落在两个标准差范围内。对于一枚公正的硬币来说，标准差等于次数平方根的一半。因此，抛一枚硬币100次，标准差是5，或者是100的平方根的一半。正面向上次数的2/3介于45与65之间；正面向上次数的95%介于40与60之间。
1705580729
1705580730
1705580731
1705580732
1705580733
图6-1 抛一枚硬币100次，正面向上的次数介于40与55次之间的概率是钟形正态曲线下面所给的面积。
1705580734
1705580735
达尔文的外甥高尔顿（Francis Galton）(3)贴切地把正态分布描述为“不合理的最高法则”。确实，概率论历经3个世纪仍旧不遵守甚至最伟大的数学家的推理。在爱多士最后一次和朋友瓦佐尼在加利福尼亚州的圣罗沙停留时，瓦佐尼“不知出于什么原因”决定用当时流传的一个谜题考考爱多士的概率直觉。在当时，爱多士已是概率论方面的世界权威。他最大的成就之一就是“概率方法”，经常简称为“爱多士方法”。因此从某种意义上来说，爱多士的名字已成为概率论的同义语。瓦佐尼认为爱多士很快就会抓住蒙蒂·霍尔（Monty Hall）问题的核心，就像他解决许多更难的问题一样。但是瓦佐尼错了。
1705580736
1705580737
当自称世界上最聪明的女人萨万特（Marilyn vos Savant）1991年9月把这个难题刊登在《大观》（Parade）杂志她的每周专栏上时，它在数学界已经流传几年了。这个问题是“公平交易”（Let’s Make a Deal）游戏节目主持人蒙蒂·霍尔喜欢玩的那些善意恶搞戏法的翻版。
1705580738
1705580739
假设你是表演嘉宾，蒙蒂·霍尔让你从三扇门中任选一扇。其中一扇门的后面是丰厚的奖金——100万美元的金条，或者轻松的月球旅行，抑或你心里想要的随便什么东西。而另两扇门则是安慰奖——比方说一只山羊，不值多少钱。在蒙蒂·霍尔打开你选择的那扇门之前，他先打开另一扇藏有山羊的门。因为有两扇门的后面是山羊，所以无论你选择哪一扇门，蒙蒂·霍尔总可以牵出一只山羊。然后他再给你一次机会：你可以坚持最初的选择，也可以改变主意换到另一扇未打开的门。这时你怎么做呢？