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3←→6
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4←→8
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等等。所有奇数的集合与所有平方数的集合或所有素数的集合亦是大小相同。稍微做一点推导，即可以证明所有有理数——分数的集合与正整数集合有同样大小。这就是说，对于每一个分数可以确定唯一的一个整数与之对应：有理数是可以数的。康托尔称每一可数集——一个可以与正整数一一对应的集合——的基数为N0，读作“阿列夫零”（Aleph-null）。“阿列夫”是希伯来字母的第一个字。在过去，数学家还从未使用过希伯来字母。数学家在征求新的数字符号时多多少少已把拉丁字母与希腊字母用尽了。
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乍一看来，人们可能会认为既然整数可以无穷供应，那么任何集合都将是可数的。但康托尔证明了情形并非如此。例如在0与1之间所有的十进位数——数学家所说的实数——表示数轴上一个不间断的线段。正如我们将要证明的，任何把所有实数与整数一一对应的企图都是注定要失败的，不管你怎样努力去做，总会有无穷多个实数找不到它们的对应者。康托尔关于这一断言的简单证明所用的方法就是他著名的“对角线法”。这是所有数学中最美妙与令人惊奇的方法之一。当爱多士的父亲告诉他这一证明之后，爱多士就爱上了无穷大，而康托尔则成为他心目中的英雄。按照塞凯赖什的说法，爱多士把康托尔的证明看成“直接来自天书的最惊人范例”。在那些日子里，他常常在信末写道：“愿康托尔精神与您同在。”或当他很忙时就写道：“愿C.与您同在。”
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康托尔的证明利用了他所偏爱的反证法技巧，现在这一技巧已变得很普遍了。他假定有某个天才千方百计试图穷举0与1之间的所有实数，并产生了一张如下形式的表：
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1←→.13493358…
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1705580872
2←→.85195719…
1705580873
1705580874
3←→.14159265…
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1705580876
4←→.17283845…
1705580877
1705580878
5←→.04146492…
1705580879
1705580880
6←→.71582381…
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对于每一个整数，在0与1之间有唯一的实数与之对应，且对于每一个实数——每一个可能的十进位无穷小数——都有一个整数与之对应。
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按这张表，康托尔按下面的程序构造了一个数：表中第一个数的第一位小数取作这个数的第一位小数，表中第二个数的第二位小数取作这个数的第二位小数，表中第三个数的第三位小数取作这个数的第三位小数，如此等等。换言之，用表中对角线上的数来构造一个新数。
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1←→.13493358…
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1705580888
2←→.85195719…
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3←→.14159265…
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1705580892
4←→.17283845…
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1705580894
5←→.04146492…
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6←→.71582381…
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在这种情况下，康托尔构造的这个数开头几位是.151863…。然后把这个数的每一位小数都换成另外一个数。无论怎么换都可以，只要不同就行。例如，除了9之外，可以把小数每一位上加一个1，而9则换成0。按这一规则，则新构成的数就是.262974…。(3)
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这个新数显然是0与1之间的一个小数。由于已假定我们的表是完全的，所以这个小数一定在某个地方出现过，而且与某个整数对应。换言之，它已被数过了。但在哪里呢？它又对应于哪个数？它绝非第一个数，这是因为按规则它的第一位小数与第一个数的第一位小数不一样，这个新数也不会是表中第二个数，这是由于它的第二位小数与第二个数的第二位小数不同。一般说来，我们构造出来的数与表中的第n个数不一样，这是由于它的第n位小数与第n个数的第n位小数不同。因此我们构造出来的这个实数与表中任何实数都不一样。记住：这张表已被假定包括了0与1之间的所有实数，但我们找到了一个实数，借戈尔德温(4)式语言来说，它被“包括在外”（included out）。尽管我们假定了表是完全的，但利用表中列举的所有实数的对角线，我们构造出了一个不在表中的实数。这就证明了，不管我们怎么去尝试，在实数与整数之间建立一一对应的企图都是注定要失败的。实数的无穷大——所谓连续统（continuum）——比整数的无穷大更大！
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康托尔继续阐明怎样建立一个包含有更大的无穷大的等级序列。对于数学来说，这是一个需要探索的无比丰富的世界。集合论的发展也为悖论（paradoxes）的发现铺平了道路，这暴露了数学基础中的裂缝。
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格劳乔·马克斯（Groucho Marx）一次说，他不愿加入任何愿意让他做会员的俱乐部。集合却不是那样挑剔；一个集合可以是它自身的成员。例如，“所有能用不超过100个字来描述的事物的集合”，其本身就是一个可以用少于100个字来描述的事物，因此它也是该集合的一个成员。到目前为止一切顺利。一些集合是它们自己的元素，而另一些则不是（例如，全体匈牙利数学家的集合并不是一个匈牙利数学家）；二者必居其一，所有的集合都不例外。然而20世纪初，伯特兰·罗素却证明了这一表面上无例外的命题是怎样导致一个悖论，从而使整个数学面临被摧毁的危险。
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考虑一个特殊的集合，为表示对罗素的尊敬，我们称之为R。由定义，R包含所有不以其自身为其元素的集合。那么R是其自身的一个元素吗？显然不是，因为根据定义R是所有不以自身为元素的集合的集合。但是如果R不是其自身的元素，那么（同样根据R的定义）它必须是R的元素。(5)正如罗素所评述的那样：“两种情况无论哪一种都导致其相反的命题，从而产生了矛盾。”逻辑是无懈可击的，结论却是灾难性的。
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罗素说道：“对于这些矛盾，我的感觉就如同一个虔诚的天主教徒遇到了邪恶的教皇。”他写信把他的悖论告诉了一位名叫弗雷格（Gottlob Frege）的逻辑学家，后者正在完成关于算术基础的一部巨著。弗雷格在他的书中任意地利用了集合的概念，包括把自身作为元素的集合在内。按照数学史家贝尔的说法，最尴尬的是书中包含了“对算术基础以往的作者们的许多讽刺抨击，以说明他们的明显失误及种种愚笨”。无论如何，弗雷格的诚实是无可指责的。在这部巨著的第二卷之末，他写下了对罗素炸弹（罗素悖论）的震撼反应：“一个科学家在一项工作完成的时候，很难遇到比得知其工作的基础已经坍塌更令人失望的情形了。当我这部著作付印之际，罗素先生的一封来信正好将我置于这样的境地。”
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