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波绍凝固了片刻，盛满汤的匙子悬在空中，然后说出了证明：“有两个数相连”。在那一瞬间，波绍已经认识到，当你在1至2n选取了多于一半数时，其中必有两个数是相连的。(4)而相连的整数都是互素的。当爱多士早些年发现这个简单结果时，他用了10分钟找到了一个证明。“无须多说，”爱多士写道，“我已深受感动……我想他与高斯处于同等水平。”高斯常回忆起当他还是小孩时，很快求出1到100间所有整数之和的事。每当爱多士在演讲时告诉听众关于波绍早熟的才能，他总喜欢引用一位加拿大数学家的话说：“在这种场合，香槟酒可能比汤更合适。”
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从那以后，爱多士就常跟波绍一起工作，他在旅途中给波绍写许多提问题的信，而当他在布达佩斯时，就与波绍面谈。当波绍13岁时，爱多士向他解释了拉姆齐定理的无穷情形。“只花了大约15分钟，波绍就明白了，然后他回家去，一直思考到临睡，即得到了一个证明。”按爱多士的回忆，波绍14岁时，“已经可以把他看成一个成熟的数学家了”。爱多士打电话跟他讨论数学，并发现如果一个问题不需要很多波绍还来不及学习的复杂数学知识，“就非常可能会得到他切中要害的聪明评论”。当波绍14岁时，他发表了与爱多士合作的第一篇文章。不久波绍单独发表了一些含有创造性结果的文章。很奇怪的是波绍从未真正掌握微积分，爱多士也未能使他对几何学发生兴趣。爱多士带着既骄傲又恼怒的心情说：“他总是只喜欢做他真正有兴趣的事，在做这些事时，他是非常出色的。”
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恪守雷尼的名言：数学家是一部将咖啡变成定理的机器，爱多士给14岁的波绍几杯研究所自制的浓饮。当爱多士的母亲得知此事，她埋怨儿子不负责的行为。“我回答她，波绍可能会说，‘夫人，我做数学家的工作，喝数学家的饮料’。”爱多士说道，他这是改用了几年前从一个年轻的西部牛仔和威士忌酒鬼那里听来的一句话。
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当波绍进入九年级时，他就读于福泽考什高级中学，那里正在开始一项培养具有数学天赋的学生的特别计划。该校以拥有一批才华卓绝的年轻数学家而自豪。其中最出色的包括洛瓦斯（László Lovàsz）与佩利坎（Józef Pelikán）——波绍将他们介绍给了爱多士。此外，爱多士还与塞格德来的一个年轻神童马特（Attila Máte）通信。马特每年要访问布达佩斯几次，参加年轻数学家俱乐部的聚会。一次，他给爱多士的住宅打电话，当“安优卡”问他是谁时，答曰：“从塞格德来的埃泼西龙。”
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爱多士想教他的埃泼西龙们比数学更多的东西。一次，洛瓦斯与波绍问他为什么女性数学家这么少。爱多士列举了他的合作者中许多妇女之后，解释道，问题不在于天赋。“我告诉他们，假使奴隶孩子（男孩）有这样的想法——如果他们太聪明了，老板（女孩）就会不喜欢他们——那么是否还会有这么多男孩来做数学呢？”这些年轻的奴隶想了一下之后说：“是啊，可能不会有那么多啦。”
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当波绍上大学后，这个“只喜欢干他真正感兴趣的事”的人发现自己喜欢教书更甚于研究数学。波绍停止研究创造性的数学而成了一名教师，这令爱多士失望。爱多士抱怨说：“他甚至不愿在大学教书，而到一所高中去教书。”爱多士就像一个骄傲而受挫的父母，他聪明的孩子是从哈佛大学法学院毕业的高才生，却选择了公设辩护律师的职业。“他干得很好。”爱多士承认道。
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然而，在以后的年月里，每当爱多士谈到波绍时，他总是摇摇头并且说：“很遗憾，他这么年轻就死了。”尽管波绍还活着，而且活得很好。
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(1)维诺格拉多夫实际上证明了，每一个充分大的奇数可以表示为三个素数之和。在此维诺格拉多夫的“充分大”之含义为一个真正的大数。将此数写出来共6 846 170位！——原注
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(2)回顾一下第四章介绍过的派对问题，它可以转换成图论问题。这只要将人变成点就行了。两个点之间有一条连线（即边）的充要条件为这两个点代表的人彼此是认识的。N个人的集合，如果彼此都认识就相当于N个顶点的集合，其中每一个顶点与任何一个顶点之间皆有边相连接；N个人的集合，其中都互不相识就相当于N个顶点，其中任何两个顶点都不相连。——译者
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(3)加号指基督教的十字架图案。——译者
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(4)为了有助于了解这一事实，可以想象10个篮子排成一排，你有6个球放到篮子里去，每个篮子只能放一个球，而且没有两个球允许被放在相邻的篮子里。开始5个球可以很好地被放好，你可以隔一个篮子放一个球，但第6个球就只能放在已经有球的篮子之间的篮子里了。——原注
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我的大脑敞开了：爱多士的数学之旅 [:1705579854]
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我的大脑敞开了：爱多士的数学之旅 第十章 六度合作
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他是一个天才，一个哲学家，一个抽象思想家。他有一流的大脑。他坐着的时候，静谧不动，就像一只蜘蛛趴在蛛网的中央，但是那个网却有着成千条放射线，他能够洞察放射线上的每一次颤动。
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——歇洛克·福尔摩斯对莫里亚蒂博士的描述
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《最后的问题》（亚瑟·柯南道尔）
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到20世纪50年代末，爱多士的生活开始变得像好莱坞旧电影中的蒙太奇，接连不断地乘火车坐飞机，连他的旅行箱都糊满了来自不同国家的标贴。例如，1960年，爱多士迅速地从布达佩斯赶到莫斯科，接着到列宁格勒，又返回莫斯科，然后取道伊尔库茨克和乌兰巴托去北京会见他的老朋友柯召——他们在曼彻斯特相识——和华罗庚——他的来信曾使爱多士被贴上共产主义者的标签，接着爱多士登上飞机赴上海，然后乘火车去杭州。另一次航行把他送到了广东，从那里他又登上火车，这次的目的地是香港；最后爱多士经新加坡赴澳大利亚去拜访乔治·塞凯赖什夫妇。而且那还不是他特别忙碌的一年。正如贝尔曼（Richard Bellman）所写的：“无人知道爱多士在哪里，甚至不知他在哪个国家。然而，唯一可以确定的是，爱多士一年到头哪儿都去。他是人类所能达到的、与各态遍历的(1)运动粒子［最终能造访所有可能的物理状态的基本粒子］最相似的事物。”爱多士的一个朋友曾经意外地在大街上碰到了他，并问：“保罗，你是在这儿吗？还是在别的什么地方？”
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爱多士总是精力充沛，不断地从一地转到另一地；会见几十位数学家，聆听上百个新的定理和猜想。这一切鼓舞着他，使他更加多产。“不管我走到哪里，总有一群老少数学家围绕着我，我向他们提出问题，这些人的研究我也能够参与，我可以和他们一起工作，”爱多士说，“除此之外，我带着大量从别处听来的未解决的问题。这种交流方式比通信更快捷更有效。”
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爱多士不是一个被动的通信者，每一年他都用其歪歪扭扭但又分辨得出的潦草笔迹写上几千封信和明信片，以同等的迅捷和礼貌回答来自世界知名的数学家或名不见经传的学生的问题。他对名字、电话号码以及数学参考文献的记忆力是具有传奇色彩的。数学家们常常会向爱多士透露他们正在研究的秘密问题，爱多士沉默片刻，大脑飞快地旋转，然后精确地会指出与此问题相关的参考文献。
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爱多士把名字与面孔对上号的能力却不那么完美。施文克（Allen Schwenk）和许多数学家都有着同样的经历：“在我们相识的前六七年，保罗总是用同样的方式向我问候：‘你好，你现在人在哪里？’那段时间里我一直在海军科学院，我想这个问题问得真怪，但我终于明白，尽管他从面孔上认出我是个数学家，却叫不上我的名字。这个问题给了他认出我所需要的线索。后来，当我的身份被确定后，问候变成：‘你好，你的老板和埃泼西龙怎么样？’”在另一个场合，爱多士遇到一个数学家并问他从哪里来。“温哥华。”这位数学家回答。“啊，那么你一定知道我的好朋友门德尔松（Elliot Mendelson）了。”爱多士说。这位数学家回答说：“我就是你的好朋友门德尔松。”
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在数学会议上，爱多士在大厅里忙个不停，就像一个象棋大师参加同时与几个人对弈的表演赛一样。他从一个小组挪到另一个小组，聆听并讨论片刻问题，给出一些建议后就转移到下一群人。所讨论的问题经常是属于数学中完全不同的领域，需要不同的思维方式，但爱多士几乎总是能立即转入讨论。不管是过了几分钟，几个月还是几年，当爱多士返回时，他往往显示出某种令人惊奇的能力，即正好从曾经中断的地方重新开始讨论。借用计算机科学的语言，爱多士的大脑是多线程、多任务系统。
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正如拉多所说：“不管［爱多士］到哪里参观，他都会留下看得见的印记：从他的爪，能分辨出一头雄狮。不管爱多士把目光投向什么目标，定理都会雨后春笋般地在那里冒出来。”随着不断增多的旅行，爱多士变得比以前更加多产，合作者的数量也从一小群增长到一大批。似乎每一个人都要么曾与爱多士本人、要么至少和曾与爱多士合作过的人合写过一篇论文。除了经常移动，爱多士与柯南道尔笔下的莫里亚蒂教授没有什么区别。他所拥有的是一张错综复杂的巨大合作网络。
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有人注意到，爱多士的合作网可以精确描述为他所喜爱的数学研究对象——图。从这样的观察出发，爱多士数的概念诞生了。每一个与爱多士合作写过论文的人被说成是有爱多士数1。任何与有爱多士数1的人合作过的人会得到一个爱多士数2，如此等等。一个数学家，如果没有任何合作链将他与爱多士连接起来，就被说成有一个无限爱多士数，这意味着这个数学家要么是单干户，要么无足轻重。实际上，任何与他人合写过论文的数学家，以及很可能不同领域的大多数科学家，都有一个有限的爱多士数。例如，爱因斯坦的爱多士数是令人印象深刻的2（他与斯特劳斯合写过文章，而斯特劳斯与爱多士合写过文章）。交流爱多士数和关于爱多士数的传闻在数学家中是一个流行的派对游戏。“你的爱多士数是多少？”这是数学家聚会见面时很好的开场白。
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