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张维首次通过下列变换
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将方程（1）化为Bessel方程
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通过渐近分析，可得其中p =1/3，从而得到如下解
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式中自变量r通过变换式（5）中的φ计算，并与式中的z发生联系，J1/3为1/3阶复变量Bessel函数，为第一类1/3阶复变量Hankel函数。用新的复变量贝氏函数J1/3（±（±ir）1/2）和H1/3（±（±ir）1/2）求得全局一致有效（包括φ=0）的渐近式通解。这个解对圆环壳的正、负高斯曲率都一致有效，这是世界上首次获得圆环壳的一致有效渐近解。由于“二战”的影响，他的这个解只在德国发表了，而鲜为人知。直到1950年Clark〔9〕根据Langer的微分方程理论得到类似的解，Tumarkin〔10〕在1959年和Novozhilov〔11〕在1962年才各自独立给出类似的渐近解。这一成果比Clark （1950）早6年，比苏联Tumarkin （1959）早15年，且更便于应用。
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1944年时J1/3（±（±ir）1/2）和H1/3（±（±ir）1/2）仍是一种新的贝氏函数，尚无函数表可查，张维使用手摇计算机用级数展开式算出了r=1～30的J1/3（±（±ir）1/2）和H1/3（±（±ir）1/2）的函数值（见下图），从而使具体例题计算成为可能，而美国哈佛大学在1947年才用早期的电子计算机算出了此贝氏函数表。
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张维在1944年算得的1/3阶复宗量贝氏函数表
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张维的博士论文目录原件
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直至1983年，美国麻省理工学院著名力学家赖斯纳（E.Reissner）在给他的来信中还再次肯定了他的这一工作。
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张维在20世纪60年代的研究生赵鸿宾[2.6]及其合作者吴振辉[2.7]、沈祖培在张维指导下，利用略不同于（1）式的复函数方程，通过Langer变换获得μ较大时用Airy函数表达的一致有效解。还进一步通过分析方程（1）中的第三项的量级，保留了在该式中μ为大参数时而略去的项，导出了逼近渐近解，从而使所得到的解既适用于μ较大情况，又适用于μ较小的情况，证明当方程（1）中μ较大时所得渐近解的齐次解部分只是一次渐近解。
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张维教授百年诞辰纪念文集 [:1705978094]
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2.1.3 圆环壳研究的进一步发展
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20世纪80年代以后，张维指导其课题组对于圆环壳问题进一步深入进行了研究，成果如下。
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1．任意载荷和边界条件下圆环壳的薄壳理论精确解[2.8-2.10]
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夏子辉是张维在“文革”后招收的第一位研究生，以后又成为张维的在职博士生。他对于圆环壳的研究工作是从Novozhilov的旋转壳复函数方程出发，寻找任意载荷作用下圆环壳的精确解，并且进行了实验验证。
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在压力容器工业中的膨胀节（expansion joint）和仪表工业中的波纹管被大量应用，它是由若干个半圆环壳（或圆环壳的壳段）和圆环形板（或圆锥壳段）组合而成；而作为一段圆环壳的弯管（curved tubes）广泛存在于管道工业中；它们的力学分析方法可归结为任意载荷作用和任意边界条件下的圆环壳弯曲问题。20世纪50年代起，该问题开始受到力学工作者的注意，苏联Chernykh首先研究了载荷关于互相垂直的一个平面反对称、另一个平面对称情况下的解。1959年美国Steele在他的博士论文〔12〕中首次给出任意载荷的解，但由于他在推导中采用了μ为大参数和m3/Rh1的假设（m为傅里叶级数展开的谐波数，R是子午线圆中心到旋转轴的距离，h是壳厚），他的解只适用于低阶谐波，且没有给出算例，使人无法了解他的解的性质。
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