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精车环氧树脂圆环壳模型弯曲试验
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夏子辉和张维基于Novozhilov复函数方程给出圆环壳和弯管在非对称载荷作用下的一般解[2.8]，且适用于任意边界条件；并进行了环氧树脂精车开口圆环壳模型轴压和非对称弯曲试验，采用电阻应变计测量应变，用激光干涉法测量位移，得到了与理论解符合很好的实验结果[2.9]。他们还在另一篇论文[2.10]中给出了弯管在任意边界条件下大圆平面内和平面外受弯矩的一般解。在20世纪80年代国内计算机还刚起步的阶段，他们用穿孔纸带上机，给出了计算程序，计算了一些典型算例：如考虑弯管的两端面翘曲时弯管承受平面内弯矩的解、内压作用下两端固定90°弯管的解。在张维指导下，夏子辉将他的结果与德国亚琛工业大学H. Öry、E. Wilczek的解〔13〕进行了对比，表明他的解是可靠的薄壳理论精度范围内的解析解。
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2．任意载荷作用下薄壁圆环壳的完全渐近解[2.11-2.14]
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张若京是张维在20世纪80年代的博士研究生，他在张维的影响和指导下，得到了轴对称圆环壳基本解的完全渐近展开[2.11]、轴对称正交异性圆环壳的齐次完全渐近解[2.12]和承受非对称载荷薄壁圆环壳的完全渐近解[2.13,2.14]。
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张若京在张维建议下采用复函数表示的圆环壳方程求解，将任意载荷分解为轴对称部分叠加非轴对称部分，轴对称载荷作用下的圆环壳问题对应一个2阶复函数方程，非轴对称载荷作用下的圆环壳问题对应4阶复函数方程。他们的成果体现在：
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（1）统一采用广义Airy函数表达了任意载荷（轴对称和非轴对称）条件下方程的齐次解和特解。它们是全域一致有效的，其精度提高到薄壳理论的精度。
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（2）对于轴对称载荷的齐次解，首次给出了达到薄壳理论精度的高阶近似。
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（3）所得到的非轴对称解（齐次解和特解）适用于任意阶的谐波载荷，没有限制。
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（4）“统一”了圆环壳理论研究历史上的所有解。包括：
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①对于轴对称载荷的齐次解的一阶近似，证明了过去解的两种形式（分别是普通Airy函数形式和1/3阶Bessel函数形式）与张若京解的广义Airy函数形式是一致的。
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②对于轴对称载荷的特解，证明了过去解的Lommel函数形式与张若京解的广义Airy函数形式是一致的。
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③将张若京的非轴对称解用于一阶谐波载荷的特例，就是Novozhilov的所谓“风型载荷”情况。证明了张若京的结果与Novozhilov的结果完全一致。
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（5）由于统一采用广义Airy函数表达了任意载荷的各种解，所以发现：
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①非轴对称载荷完全由薄膜应力平衡，而轴对称载荷由薄膜应力和弯曲应力二者共同平衡，两者不同。
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②在非轴对称载荷情况下，边界条件部分地由薄膜应力来满足。相反，对于轴对称载荷，边界条件完全由弯曲应力来满足。二者都有贯穿全域的弯曲应力。
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3．圆环壳几何非线性问题的解
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由于膨胀节研究的推动，张维指导课题组开展圆环壳几何非线性问题的研究。吴怡、夏之熙、张维[2.15]基于薄壳小变形中等转动的非线性复变量圆环壳方程，针对子午线方向载荷可变化的轴对称问题，采用摄动法，用傅里叶级数展开，研究了整圆环壳轴对称变形和用幂级数展开研究开口圆环壳的解。任文敏、秦少文[2.16]在张维指导下，用类似方程，采用摄动法研究了开口圆环壳的非线性解，并与实验进行了对比，指出在载荷较大时，线性与非线性解之间存在较大差别。
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4．圆环壳的屈曲与后屈曲解
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张维的博士生王安稳[2.17-2.19]在Machnig、Flügge、Sobel之后研究了圆环壳在外压下的屈曲与后屈曲。王、张[2.19]基于Sanders的非线性壳体方程，采用摄动法给出了完整的屈曲与后屈曲的平衡路径，与E. G. Fishlowitz〔14〕的实验结果能够很好地符合，并指出其后屈曲路径是稳定的。张维的博士生吴怡在他的博士论文[2.20]中用路径连续跟踪法研究了完善与有缺陷圆环壳的稳定性，得到了任意边界条件、任意非对称几何初缺陷圆环壳的数值解，还给出了轴压圆柱壳、圆环壳、椭圆形环壳的完善和有初始缺陷的数值算例。
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张维这一系列关于环壳理论的研究曾获得1992年国家教委科技进步三等奖和清华大学基础研究奖。
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张维教授百年诞辰纪念文集 [:1705978095]
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2.1.4 带有奇异点的旋转壳固有振动问题的全域一致解[2.21-2.24]
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直至20世纪80年代，旋转薄壳固有振动的转点问题仍是美、苏学者们近40年未曾很好解决的难题。这是因为旋转薄壳（除圆柱壳外）的固有振动频率谱中存在频率的一个区间，旋转壳自由振动频率经过该区间时，相应的振动模态在壳体的某个范围的平行圆处（即子午线坐标φ值的某一区间处）会发生局部隆起；该区间内的一个频率对应一个平行圆，以该平行圆为分界，一侧为薄膜面内模态，另一侧为薄膜与弯曲模态兼有的混合模态，而在该平行圆两侧附近，振动模态从薄膜向弯曲状态过渡，表现出复杂的微结构，称该平行圆为这个频率的过渡线。求解该问题在数学上是转点奇异性问题。动力学的转点奇异性问题比圆环壳顶点的静力学转点问题复杂得多，因而成为世界难题。
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张维指导博士生张若京（从清华毕业后为同济大学教授）对“旋转薄壳自由振动的转向点问题”进行了研究[2.21]。在用渐近方法求解旋转薄壳的自由振动问题时，求全域一致有效解十分困难。这是因为对于非对称振动，其一般振动（包含薄膜与弯曲振动）控制方程为8阶微分方程，对应8个主振型，单纯的薄膜振动有3个正则薄膜振型；对于轴对称振动，其一般振动（包含薄膜与弯曲振动）控制方程为6阶微分方程，对应6个主振型，单纯的薄膜振动有1个正则薄膜振型。当固有频率趋于转点时，二者的控制方程趋于同一个渐近控制方程，渐近控制方程是一个5阶Laplace型变系数常微分方程，有4个弯曲解和1个奇异薄膜解。求解渐近控制方程的难度在于，用现有的数学方法（Laplace积分解法）只能得到渐近控制方程的4个弯曲解，差一个奇异薄膜解无法求出。众多研究者企图解决这个难题，但因为在数学方法上没有突破，所以都没有解决。1966年，美国人罗斯（E. W. Ross）给出了轴对称振动的匹配渐近解，并且断言，不可能得到奇异薄膜解的全域一致有效表达式〔15〕。1979年，苏联科学出版社出版了著名力学家哥尔琴文采尔（А. Л. Гольденвейзер）等三人的专著：《弹性薄壳的自由振动》〔16〕。该书表明，他们得到了4个弯曲解的全域一致有效表达式，但没有得到奇异薄膜解的全域一致有效表达式。为此，作者承认，这是一个“基本缺点”。