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3．人类至少存在了4 000年。
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4．在过去4 000年里，至多有过10 000亿人生存过。（科学家的实际最佳估算是，有史以来大约有1 000亿人口，而我提高到10 000万亿只是为了安全起见。）
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我们尽可能地使这4个假设不会引起争议，但即便是这样，第1个和第2个假设中仍然存有例外的情况，而且第4个假设有些过高估计，我们只要在论证过程中做些许调整就可以了。
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现在，回到你和你祖先这个话题上。我们先来建立一个可以追溯到40代以前的家谱图：你、你的父母、你父母的父母，以次类推，倒推40个层级。由于每一代最多活100年，家谱图里所有的40代人都会在过去4 000年里出现。事实上，我们几乎可以肯定只需要往回追溯1 000年或1 200年就可以包含所有40代人的存在了，但为了保险起见，将时间增加为4 000年。
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我们完全可以把你的家谱图视为一种组织机构图，上面列出了一堆需要人们填满的工作或角色。这就是说，依据这张家谱图，追根溯源，需要有人是你的母亲，有人是你的父亲，有人是你母亲的父亲，以此类推。我们把每一个这样的角色称为“祖先角色”，这个“工作”存在于你的祖先辈上，我们可以先谈论一下这份“工作”，先不着急把这个空缺填补上。在你的家谱图上，第一代包括两位祖先的角色，就是你的父亲与母亲。第二代包含4位祖先角色，即你的祖父祖母与外祖父外祖母；第三代则包含8位祖先角色，即你的曾祖父母那一辈。每回溯一代，祖先角色需要填补的数量就会翻倍，当你追溯到过去40代时，你会发现有超过10 000亿位祖先角色需要填补。
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说到这时，就轮到鸽巢原理出场了。你的家谱图里最近的40代都发生在过去的4 000年里，我们认为最多有10 000亿人在此期间存在过。所以，比起曾经存在过的人（最多10 000亿），有更多的祖先角色（超过10 000亿）需要填补。因为我们在前面假设过，在这过去的4 000年里，至多只有一万亿人生存过，这带来关键的一点就是，在你的祖先中至少有两个角色，必须由相同的人来担任。我们把这个人叫作A。
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我们已经识别了A，现在大体上就已经完工了。从将A填入到你祖先里的两个角色开始，我们顺着家谱图而下进行追溯。这两个祖先角色由A出发，在家谱图较低的地方与另一人产生一个后代，这个位置由B来填补。由于这两者在B这个地方首次会合，一个便是由B的母亲到此，另一个是从B的父亲到此。换而言之，A是B母亲的祖先，也是B父亲的祖先，就如同我们之前推出的结论一样。
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一旦你退回一步，理解一下这些逻辑论证的作用，你会领会到如下几点：
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第一，在某种意义上，这更多是关于简单数学结构而不是关于人。我们正在画一幅关于你家的超大家谱图，并试图将过去4 000年人类的历史填满。但由于数量过于庞大，我们无法完成这一填满的工作，所以部分特定人必须占一个以上的位置。
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第二，这就是被数学家称为非建设性方式的论证方法。它并不是真的有办法让你在家谱图中找到A和B，但它会让你笃信，一定存在A和B，事实上这种的可能性也是微乎其微的。
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最后，我想我所写的就算是一个典型的小插曲吧，它存在于鸽巢原理之中，存在于散布在数学王国里无声却有力的陈述之中。它是朴素的、微不足道的事实，看似无足轻重，但时常在恰当时挺身而出，使原本凌乱的状况变得清楚明了。
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世界因何美妙而优雅地运行 83THE PIGEONHOLE PRINCIPLE REVISITED重返鸽巢原理
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查尔斯·塞费（Charles Seife）
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纽约大学新闻系教授，曾任《科学》撰稿人，著有《数字是靠不住的》（Proofiness, The Dark Arts of Mathematical Deception）。
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有 时候，即使是计数这样简单的事情都能让我们体会到，事物所具有的深奥。回到20世纪90年代末期的一天，当时我还是《新科学家》（New Magazine）杂志社的记者，我收到一封广告电子邮件，邮件中吹嘘有一款超级无敌的软件。说这款软件革命性的、高效能的数据压缩软件，足以将每一个数字档案压缩到95%以上，而且不会丢失任何一个比特的数据。如果真的存在这样的软件，难道我的杂志不会抓住机会，向全世界宣称，这个计算机软件将会使硬盘比过去多存储20倍以上的信息吗？
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不，我的杂志不会这么做。
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因为这样的压缩演算法压根不存在。这是与永动机画上等号的演算法。这样的软件压根就是骗人的把戏。原因就在于鸽巢原理。
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鸽巢原理是个简单的计算论证。如果你有n只鸽子，要将鸽子放进少于n的盒子中，至少有一个盒子必须有一只以上的鸽子。显而易见地，这个论证是个强大的工具。举个例子，假设压缩软件真如广告所言，能将每个档案缩小20倍还不会失真的话，那么每个含有2 000比特的档案，会被压缩到只有100比特，然后当演算法反推时，就扩大回其原来的样子，并完好无损。
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在对文件进行压缩时，这其中就蕴含了鸽巢原理。假设有许多含有2 000比特的鸽子（确切地说是22000），其数量远远超过了含有100比特（2100）的盒子的数量。如果演算法将前者塞进后者之中，起码有1个盒子里必须有多只鸽子才能完成。用那个含有100比特数据的盒子进行反向演算，把该档案扩大到原来的2 000比特。这是根本做不到的。因为有多重的2000比特的数据被挤进同一个含有100比特的盒子中，演算法无法得知哪一个才是真正的原型，因为它无法进行反向的压缩过程。
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鸽巢原理针对压缩演算法的作用有着绝对的限制作用。它确实可以压缩一些档案，通常效果惊人，但它无法进行全部的压缩，至少，如果你坚持十全十美的话，它无法做到。
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与鸽巢原理相类似的计数论证，为我们开启了探索整个新领域的大门。德国数学家格奥尔格·康托（Gerog Cantor）采用一种逆向鸽巢原理的方法证明了，即使有无限多个整数，将实数放进由整数标记的盒子也是行不通的。即无穷有不同的层级这几乎是无法想象的推论。整数的无限被实数的无限矮化，而实数又被另一种无限矮化，而另一种无限又被无限多的无限矮化，在我们学会对它们进行计数之前，一切都是未知的。
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当鸽巢原理迈入如此深邃的空间时，我们会得到一个更为奇异的结果。物理学中有个原理叫作全息界线，即在任何有限体积的空间中，物质和能量的可能组合数量是有限的。如果真像宇宙学家认为的那样，宇宙是无限的，那么就会有无限多个可见的、如宇宙大小的空间，这些空间都是宇宙大小的巨型泡泡，其中包含物质和能量。如果空间或多或少是均匀的，则我们所在的这个宇宙与大大小小的泡泡相比，并无任何特别之处。把这些假设归纳在一起，将得到一个令人瞠目结舌的结论。
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在无限多个宇宙大小的泡泡中，每个泡泡仅配置有一定数量的物质和能量，这意味着我们的宇宙和我们的地球并非仅有一个复制品；鸽巢原理的超限理论表明，每一个可能存在的宇宙，都有着无限数目的复制品。在无限可替换的地球上，不仅有无限个你的复制品，而且，在同一地球复制品上，还有千变万化的无数版本的你：一个版本中的你，有着一条卷尾；另一个版本的你则有着很多脑袋；还有个版本中的你，是靠着装扮成食肉的兔形动物，来换取廉价珠宝而成为人生赢家的你。甚至像数着1，2，3这样简单的事情，也可以引领你步入千奇百怪而又出乎意料的领域。
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