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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 [:1707611246]
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孪生素数猜想[1]
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2003年3月28日，在美国数学研究所（American Institute of Mathematics）位于加州帕洛阿尔托（Palo Alto）的总部，一群来自世界各地的数学家怀着极大的兴趣聆听了圣荷西州立大学（San José State University）数学教授戈德斯通（Daniel Goldston）所做的一个学术报告。在这个报告中，戈德斯通介绍了他和土耳其海峡大学（Bo ğ aziçi University）的数学家伊尔迪里姆（Cem Yıldırım）在证明孪生素数猜想（twin prime conjecture）方面所取得的一个进展。这一进展——如果得到确认的话——将把人们在这一领域中的研究大大推进一步。
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那么，什么是孪生素数（twin prime）？什么是孪生素数猜想？戈德斯通和伊尔迪里姆所取得的进展又是什么呢？本文将对这些问题做一个简单介绍。
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要介绍孪生素数，首先当然要说一说素数（prime number）这一概念。素数是除了1和自身以外没有其他因子的自然数。在数论中，素数可以说是最纯粹、也最令人着迷的概念。关于素数，一个最简单的事实就是：除了2以外，所有素数都是奇数（因为否则的话，除了1和自身以外还会有一个因子2，从而不满足定义）。由这一简单事实可以得到一个简单推论，那就是：大于2的两个相邻素数之间的最小可能的间隔是2。所谓孪生素数指的就是这种间隔为2的相邻素数，它们之间的距离已经近得不能再近了，就像孪生兄弟一样。不难验证，在孪生素数中，最小的一对是（3，5），在100以内则还有（5，7）、（11，13）、（17，19）、（29，31）、（41，43）、（59，61）和（71，73）等另外7对，总计为8对。进一步的验证还表明，随着数字的增大，孪生素数的分布大体上会变得越来越稀疏，寻找孪生素数也会变得越来越困难。
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那么，会不会在超过某个界限之后就再也不存在孪生素数了呢？
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这个问题让我们联想到素数本身的分布。我们知道，素数本身的分布也是随着数字的增大而越来越稀疏的，因此也有一个会不会在超过某个界限之后就再也不存在的问题。不过幸运的是，早在古希腊时代，著名数学家欧几里得（Euclid）就证明了素数有无穷多个（否则的话——即假如素数没有无穷多个的话——今天的许多数论学家恐怕就得另谋生路了）。长期以来数学家们普遍猜测，孪生素数的情形与素数类似，虽然其分布随着数字的增大而越来越稀疏，总数却是无穷的。这就是与哥德巴赫猜想（Goldbach conjecture）齐名、集令人惊异的表述简单性与令人惊异的证明复杂性于一身的著名猜想——孪生素数猜想。
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孪生素数猜想：存在无穷多个素数p，使得p+2也是素数。
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究竟是谁最早明确地提出这一猜想我没有考证过，但1849年法国数学波利尼亚克（Alphonse de Polignac）曾提出过一个猜想：对于任意偶数2k，存在无穷多组以2k为间隔的素数。这一猜想被称为波利尼亚克猜想（Polignac’s conjecture）。对于k=1，它就是孪生素数猜想。因此人们有时把波利尼亚克作为孪生素数猜想的提出者。值得一提的是，人们对不同的k所对应的素数对的命名是很有趣的：k=1（即间隔为2）的素数对我们已经知道叫做孪生素数；k=2（即间隔为4）的素数对被称为cousin prime（表兄弟素数），比“孪生”稍远；而k=3（即间隔为6）的素数对竟被称为sexy prime！这回该相信“书中自有颜如玉”了吧？不过别想歪了，之所以称为sexy prime，其实是因为sex正好是拉丁文中的“6”（因此sexy prime的中文译名乃是毫无联想余地的“六素数”）。
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孪生素数猜想还有一个更强的形式，是英国数学家哈代（Godfrey Hardy）和李特伍德（John Littlewood）于1923年提出的，有时被称为哈代-李特伍德猜想（Hardy-Littlewood conjecture）或强孪生素数猜想（strong twin prime conjecture）[2]。这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多组，而且还给出其渐近分布为
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其中π2（x）表示小于x的孪生素数的数目，C2被称为孪生素数常数（twin prime constant），其数值为
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强孪生素数猜想对孪生素数分布的拟合程度可以由表1看出。很明显，拟合程度是相当漂亮的。假如可以拿观测科学的例子来作比拟的话，如此漂亮的拟合几乎能跟英国天文学家亚当斯（John Couch Adams）和法国天文学家勒维耶（Urbain Le Verrier）运用天体摄动规律对海王星位置的预言，以及爱因斯坦（Albert Einstein）的广义相对论对光线引力偏转的预言等最精彩的观测科学成就相媲美，可以算同为理性思维的动人篇章。这种拟合对于纯数学的证明来说虽起不到实质帮助，却大大增强了人们对孪生素数猜想的信心。
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表 1
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x 孪生素数数目 强孪生素数猜想给出的数目 100 000 1 224 1 249 1 000 000 8 169 8 248 10 000 000 58 980 58 754 100 000 000 440 312 440 368 10 000 000 000 27 412 679 27 411 417 在这里还可以顺便提一下，强孪生素数猜想所给出的孪生素数分布规律可以通过一个简单的定性分析来“得到”[3]：我们知道，素数定理（prime number theorem）表明对于足够大的x，在x附近素数的分布密度大约为1/ln（x），因此两个素数位于宽度为2的区间之内（即构成孪生素数）的概率大约为2/ln2（x）。这几乎正好就是强孪生素数猜想中的被积函数——当然，两者之间还差了一个孪生素数常数C2，而这个常数显然正是哈代和李特伍德的功力深厚之处[4]。
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除了强孪生素数猜想与孪生素数实际分布之间的漂亮拟合外，对孪生素数猜想的另一类“实验”支持来自于对越来越大的孪生素数的直接寻找。就像对大素数的寻找一样，这种寻找在很大程度上成为了对计算机运算能力的一种检验。1994年10月30日，这种寻找竟然使人们发现了英特尔（Intel）奔腾（Pentium）处理器浮点除法运算的一个瑕疵（bug），在工程界引起了不小的震动。截至2002年底，人们发现的最大的孪生素数是：
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(33 218 925 × 2169 690 - 1，33 218 925 × 2169 690 + 1）
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这对素数中的每一个都长达51 090位。许多年来这种纪录一直被持续而成功地刷新着，它们对于纯数学的证明来说虽也起不到实质帮助，却同样有助于增强人们对孪生素数猜想的信心[5]。
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好了，介绍了这么多关于孪生素数的资料，现在该说说人们在证明孪生素数猜想上所走过的征途了。
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迄今为止，在证明孪生素数猜想上的成果大体可以分为两类。第一类是非估算性的，这方面迄今最好的结果是1966年由中国数学家陈景润利用筛法（sieve method）所取得的[6]。陈景润证明了：存在无穷多个素数p，使得p+2要么是素数，要么是两个素数的乘积。这个结果的形式与他关于哥德巴赫猜想的结果很类似[7]。目前一般认为，由于筛法本身所具有的局限性，这一结果在筛法的范围之内已很难被超越。
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证明孪生素数猜想的另一类结果则是估算性的，戈德斯通和伊尔迪里姆所取得的结果就属于这一类。这类结果估算的是相邻素数之间的最小间隔，更确切地说是：
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翻译成白话文，这个表达式所定义的是两个相邻素数之间的间隔与其中较小的那个素数的对数值之比在整个素数集合中所取的最小值。很明显，孪生素数猜想要想成立，△必须为0。因为孪生素数猜想表明pn+1 - pn=2对无穷多个n成立，而ln（pn）→∞，因此两者之比的最小值对于孪生素数集合——从而对于整个素数集合也——趋于零。不过要注意，△=0只是孪生素数猜想成立的必要条件，而不是充分条件。换句话说，如果能证明△≠0，则孪生素数猜想就被推翻了；但证明了△=0，却并不意味着孪生素数猜想一定成立。