1707611519
1707611520
一旦△=0被证明，下一个努力方向会是什么呢？一个很自然的方向将是研究△趋于0的方式。孪生素数猜想要求△～[ln（pn）]-1（因为pn+1 -pn=2对无穷多个n成立）。戈德斯通和伊尔迪里姆的结果所给出的则是△～[ln（pn）]-1/9，两者之间还有不小的差距[9]。但是看过戈德斯通和伊尔迪里姆手稿的一些数学家认为，戈德斯通和伊尔迪里姆所用的方法还存在改进空间。也就是说，他们的方法还有可能对△趋于0的方式作出更强的估计。从这个意义上讲，戈德斯通和伊尔迪里姆这一结果的价值不仅仅在于结果本身，更在于它有可能成为一系列未来研究的起点。这种带传承性的系列研究对于数学来说有着双重的重要性，因为一方面，这种研究可能取得的新结果将是对数学的直接贡献；另一方面，这种研究对戈德斯通和伊尔迪里姆的结果会起到反复推敲与核实的作用。现代数学早已超越了一两个评审花一两个小时就可以对一个数学证明做出评判的时代。著名的四色定理（four color theorem）和费马大定理（Fermat’s Last Theorem）都曾有过一个证明时隔几年、甚至十几年才被发现错误的例子。因此，一个复杂的数学结果能成为进一步研究的起点，吸引其他数学家的参与，对于最终判定其正确性具有极其正面的意义[10]。
1707611521
1707611522
2003年4月6日写于纽约
1707611523
1707611524
2014年9月15日最新修订
1707611525
1707611526
[1]本文撰写于2003年4月，是我的第一篇数学科普，填补了作为本人兴趣主要组成部分之一的数学在我网站的空白。自那以后，本文曾以“补注”形式对若干后续进展作了简单提及，并于2014年9月进行了不改变基本结构的轻微修订。
1707611527
1707611528
[2]确切地说，哈代和李特伍德于1923年所提出的猜想共有两个，分别称为第一哈代-李特伍德猜想（first Hardy-Littlewood conjecture）和第二哈代-李特伍德猜想（second Hardy-Littlewood conjecture）。其中第一哈代-李特伍德猜想又称为k-tuple猜想（k-tuple conjecture），它给出了所有形如（p， p+2m1，…，p+2mk）（其中0
1707611529
1707611530
[3]这种定性分析被澳大利亚数学家陶哲轩（Terence Tao）称为“概率启发式理由”（probabilistic heuristic justification），它不是证明，但对于判断命题成立与否有一定的启示性。
1707611531
1707611532
[4]对孪生素数常数C2也存在“概率启发式理由”，感兴趣的读者可参阅美国数学家查基尔（Don Zagier）的“The First 50 Million Prime Numbers”，Math. Intel. 0，221-224(1977）。
1707611533
1707611534
[5]截至2011年底，这一纪录已被刷新为了：（3 756 801 695 685×2666 669 -1，3 756 801695 685×2666 669+1），这对素数中的每一个都长达200 700位。
1707611535
1707611536
[6]顺便说一下，美国数学研究所在介绍本文开头所提到的戈德斯通和伊尔迪里姆的结果的简报中提到陈景润时所用的称呼是“伟大的中国数学家陈”（the great Chinese mathematician Chen）。
1707611537
1707611538
[7]陈景润关于哥德巴赫猜想的结果——被称为陈氏定理（Chen’s theorem）——是：任何足够大的偶数都可以表示成两个数的和，其中一个是素数，另一个要么是素数，要么是两个素数的乘积。
1707611539
1707611540
[8]这个“归一”性也正是在△的表达式中引进ln（pn）的原因。
1707611541
1707611542
[9]本文发布之后，关于戈德斯通和伊尔迪里姆的工作又有了一些重要的后续发展，其中包括：2003年4月23日，英国数学家格兰维尔（Andrew Granville）和印度数学家桑德拉拉扬（Kannan Soundararajan）发现了戈德斯通和伊尔迪里姆原始证明中的一个错误，并得到了戈德斯通和伊尔迪里姆的承认；2005年初，戈德斯通和伊尔迪里姆“伙同”匈牙利数学家平兹（János Pintz）“卷土重来”，再次证明了△=0。他们所证明的△的新的渐进行为是：△～[lnln（pn）]2/[ln（pn）]1/2。
1707611543
1707611544
[10]2013年5月14日，《自然》（Nature）等科学杂志及大量中外媒体报道了旅美数学家张益唐在孪生素数猜想研究中所取得的一个重要的新进展，即证明了存在无穷多个素数对，其间隔小于7 000万。这一进展——如果得到确认的话——相当于证明了波利尼亚克猜想至少对某个小于3 500万的k成立。用△来表述的话，则相当于不仅证明了△=0，而且给出了与孪生素数猜想所要求的相同的渐进行为：△～[ln（pn）]-1（不过，这一渐进行为跟△=0一样，只是孪生素数猜想成立的必要条件，而不是充分条件）。张益唐的证明用到了戈德斯通、平兹、伊尔迪里姆等人的结果，并于2013年5月21日被《数学年刊》（Annals of Mathematics）所接受。张益唐的结果也存在改进空间，截至2014年3月，陶哲轩等数学家已将其中的7 000万这一素数间隔“压缩”到了246。
1707611545
1707611546
1707611547
1707611548
1707611549
因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 [:1707611247]
1707611550
1707611551
因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦
1707611552
1707611553
绘画：张京
1707611554
1707611555
1707611556
1707611557
1707611558
因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 魔方与“上帝之数”[1]
1707611559
1707611560
2008年7月，来自世界各地的很多优秀的魔方玩家聚集在捷克共和国（Czech Republic）中部城市帕尔杜比采（Pardubice），参加魔方界的重要赛事：捷克公开赛。在这次比赛上，荷兰玩家阿克斯迪杰克（Erik Akkersdijk）创下了一个惊人的纪录：只用7.08秒就复原了一个颜色被打乱的魔方。无独有偶，在这一年的8月，人们在研究魔方背后的数学问题上也取得了重要进展。在本文中，我们就来介绍一下魔方以及它背后的数学问题。
1707611561
1707611562
1707611563
1707611564
1707611565
因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 [:1707611248]
1707611566
因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 一、风靡世界的玩具
1707611567
1707611568
1974年春天，匈牙利布达佩斯应用艺术学院（Budapest College of Applied Arts）的建筑学教授鲁比克（Ernö Rubik）萌生了一个有趣的念头，那就是设计一个教学工具来帮助学生直观地理解空间几何中的各种转动。经过思考，他决定制作一个由一些小方块组成的，各个面能随意转动的3×3×3的立方体。这样的立方体可以很方便地演示各种空间转动。