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[3]这种定性分析被澳大利亚数学家陶哲轩（Terence Tao）称为“概率启发式理由”（probabilistic heuristic justification），它不是证明，但对于判断命题成立与否有一定的启示性。
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[4]对孪生素数常数C2也存在“概率启发式理由”，感兴趣的读者可参阅美国数学家查基尔（Don Zagier）的“The First 50 Million Prime Numbers”，Math. Intel. 0，221-224(1977）。
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[5]截至2011年底，这一纪录已被刷新为了：（3 756 801 695 685×2666 669 -1，3 756 801695 685×2666 669+1），这对素数中的每一个都长达200 700位。
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[6]顺便说一下，美国数学研究所在介绍本文开头所提到的戈德斯通和伊尔迪里姆的结果的简报中提到陈景润时所用的称呼是“伟大的中国数学家陈”（the great Chinese mathematician Chen）。
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[7]陈景润关于哥德巴赫猜想的结果——被称为陈氏定理（Chen’s theorem）——是：任何足够大的偶数都可以表示成两个数的和，其中一个是素数，另一个要么是素数，要么是两个素数的乘积。
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[8]这个“归一”性也正是在△的表达式中引进ln（pn）的原因。
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[9]本文发布之后，关于戈德斯通和伊尔迪里姆的工作又有了一些重要的后续发展，其中包括：2003年4月23日，英国数学家格兰维尔（Andrew Granville）和印度数学家桑德拉拉扬（Kannan Soundararajan）发现了戈德斯通和伊尔迪里姆原始证明中的一个错误，并得到了戈德斯通和伊尔迪里姆的承认；2005年初，戈德斯通和伊尔迪里姆“伙同”匈牙利数学家平兹（János Pintz）“卷土重来”，再次证明了△=0。他们所证明的△的新的渐进行为是：△～[lnln（pn）]2/[ln（pn）]1/2。
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[10]2013年5月14日，《自然》（Nature）等科学杂志及大量中外媒体报道了旅美数学家张益唐在孪生素数猜想研究中所取得的一个重要的新进展，即证明了存在无穷多个素数对，其间隔小于7 000万。这一进展——如果得到确认的话——相当于证明了波利尼亚克猜想至少对某个小于3 500万的k成立。用△来表述的话，则相当于不仅证明了△=0，而且给出了与孪生素数猜想所要求的相同的渐进行为：△～[ln（pn）]-1（不过，这一渐进行为跟△=0一样，只是孪生素数猜想成立的必要条件，而不是充分条件）。张益唐的证明用到了戈德斯通、平兹、伊尔迪里姆等人的结果，并于2013年5月21日被《数学年刊》（Annals of Mathematics）所接受。张益唐的结果也存在改进空间，截至2014年3月，陶哲轩等数学家已将其中的7 000万这一素数间隔“压缩”到了246。
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 [:1707611247]
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦
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绘画：张京
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 魔方与“上帝之数”[1]
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2008年7月，来自世界各地的很多优秀的魔方玩家聚集在捷克共和国（Czech Republic）中部城市帕尔杜比采（Pardubice），参加魔方界的重要赛事：捷克公开赛。在这次比赛上，荷兰玩家阿克斯迪杰克（Erik Akkersdijk）创下了一个惊人的纪录：只用7.08秒就复原了一个颜色被打乱的魔方。无独有偶，在这一年的8月，人们在研究魔方背后的数学问题上也取得了重要进展。在本文中，我们就来介绍一下魔方以及它背后的数学问题。
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 [:1707611248]
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 一、风靡世界的玩具
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1974年春天，匈牙利布达佩斯应用艺术学院（Budapest College of Applied Arts）的建筑学教授鲁比克（Ernö Rubik）萌生了一个有趣的念头，那就是设计一个教学工具来帮助学生直观地理解空间几何中的各种转动。经过思考，他决定制作一个由一些小方块组成的，各个面能随意转动的3×3×3的立方体。这样的立方体可以很方便地演示各种空间转动。
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这个想法虽好，实践起来却面临一个棘手的问题，即如何才能让这样一个立方体的各个面能随意转动？鲁比克想了很多点子，比如用磁铁或橡皮筋连接各个小方块，但都不成功。那年夏天的一个午后，他在多瑙河畔乘凉，眼光不经意地落在了河畔的鹅卵石上。忽然，他心中闪过一个新的设想：用类似于鹅卵石表面那样的圆形表面来处理立方体的内部结构。这一新设想成功了，鲁比克很快完成了自己的设计，并向匈牙利专利局申请了专利。这一设计就是我们都很熟悉的魔方（magic cube），也叫鲁比克方块（Rubik’s cube）[2]。
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6年后，鲁比克的魔方经过一位匈牙利商人兼业余数学家的牵头，打进了西欧及美国市场，并以惊人的速度成为了风靡全球的新潮玩具。在此后的25年间，魔方的销量超过了3亿个。在魔方的玩家中，既有牙牙学语的孩子，也有跨国公司的老总。魔方虽未如鲁比克设想的那样成为一种空间几何的教学工具，却变成了有史以来最畅销的玩具。
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魔方之畅销，最大的魔力就在于其数目惊人的颜色组合。一个魔方出厂时每个面各有一种颜色，总共有6种颜色，但这些颜色被打乱后，所能形成的组合数却多达4 325亿亿[3]（1亿亿=1×1016）。如果我们将这些组合中的每一种都做成一个魔方，这些魔方排在一起，可以从地球一直排到250光年外的遥远星空——也就是说，如果我们在这样一排魔方的一端点上一盏灯，那灯光要在250年后才能照到另一端！如果哪位勤勉的玩家想要尝试所有的组合，哪怕他不吃、不喝、不睡，每秒钟转出10种不同的组合，也要花1 500亿年的时间才能如愿（作为比较，我们的宇宙目前还不到140亿岁）。与这样的组合数相比，广告商们常用的“成千上万”、“数以亿计”、“数以十亿计”等平日里虚张声势、忽悠顾客的形容词反倒变成了难得的谦虚。我们可以很有把握地说，假如不掌握诀窍地随意乱转，一个人哪怕从宇宙大爆炸之初就开始玩魔方，也几乎没有任何希望将一个色彩被打乱的魔方复原。
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