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这对素数中的每一个都长达51 090位。许多年来这种纪录一直被持续而成功地刷新着，它们对于纯数学的证明来说虽也起不到实质帮助，却同样有助于增强人们对孪生素数猜想的信心[5]。
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好了，介绍了这么多关于孪生素数的资料，现在该说说人们在证明孪生素数猜想上所走过的征途了。
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迄今为止，在证明孪生素数猜想上的成果大体可以分为两类。第一类是非估算性的，这方面迄今最好的结果是1966年由中国数学家陈景润利用筛法（sieve method）所取得的[6]。陈景润证明了：存在无穷多个素数p，使得p+2要么是素数，要么是两个素数的乘积。这个结果的形式与他关于哥德巴赫猜想的结果很类似[7]。目前一般认为，由于筛法本身所具有的局限性，这一结果在筛法的范围之内已很难被超越。
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证明孪生素数猜想的另一类结果则是估算性的，戈德斯通和伊尔迪里姆所取得的结果就属于这一类。这类结果估算的是相邻素数之间的最小间隔，更确切地说是：
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翻译成白话文，这个表达式所定义的是两个相邻素数之间的间隔与其中较小的那个素数的对数值之比在整个素数集合中所取的最小值。很明显，孪生素数猜想要想成立，△必须为0。因为孪生素数猜想表明pn+1 - pn=2对无穷多个n成立，而ln（pn）→∞，因此两者之比的最小值对于孪生素数集合——从而对于整个素数集合也——趋于零。不过要注意，△=0只是孪生素数猜想成立的必要条件，而不是充分条件。换句话说，如果能证明△≠0，则孪生素数猜想就被推翻了；但证明了△=0，却并不意味着孪生素数猜想一定成立。
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对△最简单的估算来自于素数定理。按照素数定理，对于足够大的x，在x附近素数出现的几率为1/ln（x），这表明素数之间的平均间隔为ln（x），从而（pn+1 - pn）/ln（pn）给出的其实是相邻素数之间的间隔与平均间隔的比值，其平均值显然为1[8]。平均值为1，最小值显然是小于等于1，因此素数定理给出△≤1。
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对△的进一步估算始于哈代和李特伍德。1926年，他们运用圆法（circle method）证明了假如广义黎曼猜想（generalized Riemann hypothesis）成立，则△≤2/3。这一结果后来被苏格兰数学家兰金（Robert Alexander Rankin）改进为△≤3/5。但这两个结果都有赖于本身尚未得到证明的广义黎曼猜想，因此只能算是有条件的结果。1940年，匈牙利数学家埃尔德什（Paul Erdös）利用筛法率先给出了一个不带条件的结果：△<1（即把素数定理给出的结果中的等号部分去掉了）。此后意大利数学家里奇（Giovanni Ricci）于1954年，意大利数学家蓬皮埃利（Enrico Bombieri）、英国数学家达文波特（Harold Davenport）于1966年，以及英国数学家赫克斯利（Martin Huxley）于1977年，分别将△的估算值推进到了△≤15/16，△≤（2+）/8≈0.466 5，以及△≤0.442 5。戈德斯通和伊尔迪里姆之前最好的结果则是德国数学家梅尔（Helmut Maier）于1986年得到的△≤0.248 6。
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以上这些结果都是在小数点后面做文章，戈德斯通和伊尔迪里姆的结果将这一系列努力大大推进了一步，并且——如果得到确认的话——将在一定意义上终结对△进行数值估算的长达几十年的漫漫征途。因为戈德斯通和伊尔迪里姆所证明的结果是△=0。当然，如我们前面所述，△=0只是孪生素数猜想成立的必要条件，而不是充分条件，因此戈德斯通和伊尔迪里姆的结果即便得到确认，离最终证明孪生素数猜想仍有相当的距离，但它无疑将是近十几年来这一领域中最引人注目的结果。
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一旦△=0被证明，下一个努力方向会是什么呢？一个很自然的方向将是研究△趋于0的方式。孪生素数猜想要求△～[ln（pn）]-1（因为pn+1 -pn=2对无穷多个n成立）。戈德斯通和伊尔迪里姆的结果所给出的则是△～[ln（pn）]-1/9，两者之间还有不小的差距[9]。但是看过戈德斯通和伊尔迪里姆手稿的一些数学家认为，戈德斯通和伊尔迪里姆所用的方法还存在改进空间。也就是说，他们的方法还有可能对△趋于0的方式作出更强的估计。从这个意义上讲，戈德斯通和伊尔迪里姆这一结果的价值不仅仅在于结果本身，更在于它有可能成为一系列未来研究的起点。这种带传承性的系列研究对于数学来说有着双重的重要性，因为一方面，这种研究可能取得的新结果将是对数学的直接贡献；另一方面，这种研究对戈德斯通和伊尔迪里姆的结果会起到反复推敲与核实的作用。现代数学早已超越了一两个评审花一两个小时就可以对一个数学证明做出评判的时代。著名的四色定理（four color theorem）和费马大定理（Fermat’s Last Theorem）都曾有过一个证明时隔几年、甚至十几年才被发现错误的例子。因此，一个复杂的数学结果能成为进一步研究的起点，吸引其他数学家的参与，对于最终判定其正确性具有极其正面的意义[10]。
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2003年4月6日写于纽约
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2014年9月15日最新修订
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[1]本文撰写于2003年4月，是我的第一篇数学科普，填补了作为本人兴趣主要组成部分之一的数学在我网站的空白。自那以后，本文曾以“补注”形式对若干后续进展作了简单提及，并于2014年9月进行了不改变基本结构的轻微修订。
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[2]确切地说，哈代和李特伍德于1923年所提出的猜想共有两个，分别称为第一哈代-李特伍德猜想（first Hardy-Littlewood conjecture）和第二哈代-李特伍德猜想（second Hardy-Littlewood conjecture）。其中第一哈代-李特伍德猜想又称为k-tuple猜想（k-tuple conjecture），它给出了所有形如（p， p+2m1，…，p+2mk）（其中0
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[3]这种定性分析被澳大利亚数学家陶哲轩（Terence Tao）称为“概率启发式理由”（probabilistic heuristic justification），它不是证明，但对于判断命题成立与否有一定的启示性。
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[4]对孪生素数常数C2也存在“概率启发式理由”，感兴趣的读者可参阅美国数学家查基尔（Don Zagier）的“The First 50 Million Prime Numbers”，Math. Intel. 0，221-224(1977）。
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[5]截至2011年底，这一纪录已被刷新为了：（3 756 801 695 685×2666 669 -1，3 756 801695 685×2666 669+1），这对素数中的每一个都长达200 700位。
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[6]顺便说一下，美国数学研究所在介绍本文开头所提到的戈德斯通和伊尔迪里姆的结果的简报中提到陈景润时所用的称呼是“伟大的中国数学家陈”（the great Chinese mathematician Chen）。
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[7]陈景润关于哥德巴赫猜想的结果——被称为陈氏定理（Chen’s theorem）——是：任何足够大的偶数都可以表示成两个数的和，其中一个是素数，另一个要么是素数，要么是两个素数的乘积。
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[8]这个“归一”性也正是在△的表达式中引进ln（pn）的原因。
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[9]本文发布之后，关于戈德斯通和伊尔迪里姆的工作又有了一些重要的后续发展，其中包括：2003年4月23日，英国数学家格兰维尔（Andrew Granville）和印度数学家桑德拉拉扬（Kannan Soundararajan）发现了戈德斯通和伊尔迪里姆原始证明中的一个错误，并得到了戈德斯通和伊尔迪里姆的承认；2005年初，戈德斯通和伊尔迪里姆“伙同”匈牙利数学家平兹（János Pintz）“卷土重来”，再次证明了△=0。他们所证明的△的新的渐进行为是：△～[lnln（pn）]2/[ln（pn）]1/2。
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[10]2013年5月14日，《自然》（Nature）等科学杂志及大量中外媒体报道了旅美数学家张益唐在孪生素数猜想研究中所取得的一个重要的新进展，即证明了存在无穷多个素数对，其间隔小于7 000万。这一进展——如果得到确认的话——相当于证明了波利尼亚克猜想至少对某个小于3 500万的k成立。用△来表述的话，则相当于不仅证明了△=0，而且给出了与孪生素数猜想所要求的相同的渐进行为：△～[ln（pn）]-1（不过，这一渐进行为跟△=0一样，只是孪生素数猜想成立的必要条件，而不是充分条件）。张益唐的证明用到了戈德斯通、平兹、伊尔迪里姆等人的结果，并于2013年5月21日被《数学年刊》（Annals of Mathematics）所接受。张益唐的结果也存在改进空间，截至2014年3月，陶哲轩等数学家已将其中的7 000万这一素数间隔“压缩”到了246。
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 [:1707611247]