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[1]本文曾发表于《科学画报》2008年第12期（上海科学技术出版社出版）。
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[2]“魔方”是鲁比克自己为这一设计所取的名字，“鲁比克方块”则是美国玩具公司Ideal Toys所取的名字。在西方国家，鲁比克方块这一名称更为流行，在中国，则是魔方这一名称更为流行。另外要提醒读者的是，魔方有很多种类，本文介绍的3×3×3魔方只是其中最常见的一种。
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[3]具体的计算是这样的：在组成魔方的小立方体中，有8个是顶点，它们之间有8！种置换；这些顶点每个有3种颜色，从而在朝向上有37种组合（由于结构所限，魔方的顶点只有7个能有独立朝向）。类似的，魔方有12个小立方体是边，它们之间有12！ /2种置换（之所以除以2，是因为魔方的顶点一旦确定，边的置换就只有一半是可能的）；这些边每个有两种颜色，在朝向上有211种组合（由于结构所限，魔方的边只有11个能有独立朝向）。因此，魔方的颜色组合总数为8！×37×12！×211/2=43 252 003 274 489 856 000，即大约4 325亿亿。另外值得一提的是，倘若我们允许将魔方拆掉重组，则前面提到的结构限定将不复存在，它的颜色组合数将多达51 900亿亿种。不过颜色组合数的增加并不意味着复原的难度变大，魔方结构对颜色组合数的限制实际上正是使魔方的复原变得困难的主要原因。举个例子来说，26个英文字母在相邻字母的交换之下共有约400亿亿亿种组合，远远多于魔方颜色的组合数，但通过相邻字母的交换将随意排列的26个英文字母复原成从A到Z的初始排列却非常简单。
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[4]确切地说是取5次尝试中居中的3次成绩的平均值。
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[5]为了使这一问题有意义，当然首先要定义什么是转动。在对魔方的数学研究中，转动是指将魔方的任意一个（包含9个小方块的）面沿顺时针或逆时针方向转动90°或180°，对每个面来说，这样的转动共有3种。（请读者想一想，为什么不是4种？）由于魔方有6个面，因此它的基本转动方式共有18种。
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[6]确切地说，是减少至1/96，或45亿亿种组合。
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[7]科先巴的新思路是本文介绍的一系列计算研究的起点，但并不是最早的魔方算法。早在1981年，目前在美国田纳西大学（University of Tennessee），当时在伦敦南岸大学（London South Bank University）的数学家西斯尔斯韦特（Morwen Thistlethwaite）就提出了一种算法，被称为西斯尔斯韦特算法（Thistlethwaite algorithm）。西斯尔斯韦特算法可保证通过不超过52次转动复员魔方的任意一种颜色组合（相当于证明了上帝之数不超过52），在科先巴新思路问世之前的1991年，这一数字曾被压缩到42。
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[8]确切地说，是18种基本转动方式中有10种自成系列，由此形成的颜色组合共有8！×8！×4！/2（约195亿）种。
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[9]他们所宣布的证明完成时间为2010年7月。
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绘画：张京
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 ABC猜想浅说[1]
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由前三个英文字母拼合而成的“ABC”一词据说自13世纪起便见诸文献了，含义为“入门”。这些年随着英文在中国的流行，该词在中文世界里也夺得了一席之地，出现在了很多图书的书名中，大有跟中文词“入门”一较高下之势。不过，倘若你在数学文献中看到一个以“ABC”命名的猜想——“ABC猜想”（ABC conjecture），千万不要以为那是一个“入门”级别的猜想。事实上，这一猜想在公众知名度方面或许尚处于“入门”阶段，以难度和地位而论却绝不是“入门”级别的。
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在本文中，我们将对这一并非“入门”级别的猜想做一个“入门”级别的介绍。
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 一、什么是ABC猜想？
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在介绍之前，让我们先回忆一下中小学数学中的两个简单概念。其中第一个概念是素数（prime number）。我们知道，很多正整数可以分解为其他——即不同于它自己的——正整数的乘积，比如9=3×3，231=3×7×11，等等。但也有一些正整数不能这么分解，比如13，29等。这后一类正整数——1除外——就是所谓的素数。素数是一个被称为“数论”（number theory）的数学分支中的核心概念，其地位常被比喻为物理学中的原子（atom），因为与物理学中物质可以分解为原子相类似，数学中所有大于1的正整数都可以分解为素数的乘积（素数本身被视为是自己的分解）[2]。第二个概念则是互素（co-prime）。两个正整数如果其素数分解中不存在共同的素数，就称为是互素的，比如21=3×7和55=5×11就是互素的[3]。
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有了这两个简单概念，我们就可以介绍ABC猜想了。ABC猜想针对的是满足两个简单条件的正整数组（A,B,C）[4]。其中第一个条件是A和B互素，第二个条件是A + B = C。显然，满足这种条件的正整数组——比如（3，8，11）、（16，17，33）……——有无穷多个（请读者自行证明）。为了引出ABC猜想，让我们以（3，8，11）为例，做一个“三步走”的简单计算：
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（1）将A、B、C乘起来（结果是3×8×11=264）；
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（2）对乘积进行素数分解（结果是264=23×3×11）；
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