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[3]对这一定义还有一个小小的补充，即1被定义为与所有正整数都互素。
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[4]为了简单起见，我们的介绍是针对正整数的，但ABC猜想其实也可以针对整数进行表述，两者并无实质差别。我们将后者留给感兴趣的读者去做。
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[5]这里可以略作一点补充：步骤3的结果因不含任何素数因子的平方，被称为A、B、C三个数字乘积的“无平方部分”（square-free part），简记为sqp（ABC）——不过要注意的是，这一记号在某些文献中有不同含义，与本文含义相一致的另一种记号为rad（ABC）。用这一记号，ABC猜想可以表述为“对任意给定的n>1，只有有限多组（A,B,C）满足sqp（ABC）n1，sqp（ABC）n/C的下界大于零”。感兴趣的读者不妨由“科普表述”出发，证明一下“专业表述”（不过要提醒读者的是：相反方向的证明，即由“专业表述”证明“科普表述”，并不是轻而易举的）。另外要说明的是，正文提到的所谓ABC猜想所允许的“反例”乃是“科普表述”特有的提法，意指满足sqp（ABC）n
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[6]这个关于在ABC猜想成立的前提下，费马猜想将只需“不到一页的数学推理就能确立”（establishing in less than a page of mathematical reasoning）的不无夸张的说法出自美国数学协会（Mathematical Association of America）的出版主管、著名美国数学科普作家彼得森（Ivars Peterson）。不过，该说法虽然夸张，却并非完全“忽悠”。为了说明这一点，并作为对如何由ABC猜想证明其他命题的演示，我们在这里介绍一个“不到一页的数学推理”：假设费马猜想不成立，即存在互素的（这点请读者自行证明）正整数x、y、z使得xk+yk=zk（k>2）。则由前一条注释给出的ABC猜想的“专业表述”可知（取n = 7/6）：sqp（xkykzk）7/6/zk>ε（ε>0）。由于sqp（xkykzk）=sqp（xyz）≤xyzε。显然，对所有k≥4，只有小于（由ε决定的）某个数值的有限多个z能满足该不等式，而且当k大于（由ε决定的）某个数值后，将不会有任何z满足该不等式。这表明，对所有k≥4，费马猜想的反例即便有也只能有有限多个，而且k大到一定程度后将不再有反例。因此，证明费马猜想就变成了证明k=3的情形（这在两百多年前就已完成），以及通过数值验证排除总数有限的反例。这虽然并非“不到一页的数学推理”就能确立的，比起怀尔斯的证明来毕竟是直截了当多了。倘若历史走的是不同的路径，费马是在ABC猜想被证明之后才提出的费马猜想，他那句戏剧性的“我发现了一个真正出色的证明，可惜页边太窄写不下来”倒是不无成立之可能。
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[7]具体地说，截至2001年，这方面的最好结果是exp[K·sqp（ABC）1/3+ε]/C>1，其中K是与ε有关（但与A、B、C无关）的常数。
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[8]望月新一自创的那种数学工具被称为inter-universal Teichmuller theory或inter-universal geometry。他在其网站上则称自己为Inter-universal Geometer。
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[9]对此事感兴趣的读者可参阅拙作《黎曼猜想漫谈》的第35章。
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[10]陶哲轩的“概率启发式理由”的要点是将数论命题——比如一个数是素数——视为概率性命题，并利用概率工具来猜测数学命题的成立与否。这种做法的一个例子是对强孪生素数猜想成立的猜测（参阅收录于本书的拙作“孪生素数猜想”所介绍的有关该猜想的“简单的定性分析”）。
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[11]望月新一的证明发布至今已两年多，这期间美国耶鲁大学（Yale University）的数学系研究生季米特洛夫（Vesselin Dimitrov）及斯坦福大学（Stanford University）的数学家文卡塔斯（Akshay Venkatesh）曾写信向他指出过一个错误。望月新一承认了错误，但表示那是一个不影响结论的小错误。此后，他数度更新了自己的论文，截至本文修订之日（2014年10月1日），他更新后的四篇论文总长度超过了550页，最近一次更新的日期则为2014年9月15日。
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦
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绘画：张京
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 谷歌背后的数学[1]
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一、引言
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在如今这个互联网时代，有一家公司家喻户晓——它自1998年问世以来，在极短的时间内就声誉鹊起，不仅超越了所有竞争对手，而且彻底改观了整个互联网的生态。这家公司就是当今互联网上的第一搜索引擎：谷歌（Google）。
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在这样一家显赫的公司背后，自然有许许多多商战故事，也有许许多多成功因素。但与普通商战故事不同的是，在谷歌的成功背后起着最关键作用的却是一个数学因素。
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本文要谈的就是这个数学因素。
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谷歌作为一个搜索引擎，它的核心功能顾名思义，就是网页搜索。说到搜索，我们都不陌生，因为那是凡地球人都会的技能。我们在字典里查个生字，在图书馆里找本图书，甚至在商店里寻一种商品，等等，都是搜索。只要稍稍推究一下，我们就会发现那些搜索之所以可能，并且人人都会，在很大程度上得益于以下三条：
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（1）搜索对象的数量较小——比如一本字典收录的字通常只有一两万个，一家图书馆收录的不重复图书通常不超过几十万种，一家商店的商品通常不超过几万种，等等。
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（2）搜索对象具有良好的分类或排序——比如字典里的字按拼音排序，图书馆里的图书按主题分类，商店里的商品按品种或用途分类，等等。
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（3）搜索结果的重复度较低——比如字典里的同音字通常不超过几十个，图书馆里的同名图书和商店里的同种商品通常也不超过几十种，等等。
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但互联网的鲜明特点却是以上三条无一满足。事实上，即便在谷歌问世之前，互联网上的网页总数就已超过了诸如图书馆藏书数量之类传统搜索对象的数目。而且这还只是冰山一角，因为与搜索图书时单纯的书名搜索不同，互联网上的搜索往往是对网页内容的直接搜索，这相当于将图书里的每一个字都变成了搜索对象，由此导致的数量才是真正惊人的，它不仅直接破坏了上述第一条，而且连带破坏了二、三两条。在互联网发展的早期，像雅虎（Yahoo）那样的门户网站曾试图为网页建立分类系统，但随着网页数量的激增，这种做法很快就“挂一漏万”了。而搜索结果的重复度更是以快得不能再快的速度走向失控。这其实是可以预料的，因为几乎所有网页都离不开几千个常用词，因此除非搜索生僻词，否则出现几十万、几百万、甚至几千万条搜索结果都是不足为奇的。