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2010年12月4日写于纽约
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[1]本文曾发表于《数学文化》2011年2月刊（山东大学与香港浸会大学合办）。
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[2]马尔可夫过程，也称为马尔可夫链（Markov chain），是一类离散随机过程，它的最大特点是每一步的转移概率分布都只与前一步有关。而平稳马尔可夫过程则是指转移概率分布与步数无关的马尔可夫过程（体现在我们的例子中，即H与n无关）。另外要说明的是，本文在表述上不同于佩奇和布林的原始论文，后者并未使用诸如“马尔可夫过程”或“马尔可夫链”那样的术语，也并未直接运用这一领域内的数学定理。
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[3]在更细致的分类中，这种每一列的矩阵元之和都为1的随机矩阵称为左随机矩阵（left stochastic matrix），以区别于每一行的矩阵元之和都等于1的所谓右随机矩阵（right stochastic matrix）。这两者在应用上基本是等价的，区别往往只在于约定。
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[4]这种几乎满足随机矩阵条件，但有些列（或行）的矩阵元之和小于1的矩阵也有一个名称，叫做亚随机矩阵（substochastic matrix）。
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[5]确切地说，这种所有矩阵元都为正的矩阵不仅是素矩阵，而且还是所谓的正矩阵（positive matrix）。这两者的区别是：正矩阵要求所有矩阵元都为正，而素矩阵只要求自己的某个正整数次幂为正矩阵。
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[6]读者们想必看出来了，p其实是矩阵G的本征值为1的本征向量，而利用虚拟用户确定网页排序的思路其实是在用迭代法解决上述本征值问题。在数学上可以证明，上述本征向量是唯一的，而且G的其他本征值λ全都满足λ<1（更准确地说，是|λ|≤α——这也正是下文即将提到的Gnp0的收敛速度与α有关的原因）。
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[7]当然，这绝不意味着在网页排序上已不可能再做假。相反，这种做假在互联网上依然比比皆是，比如许多广告或垃圾网页制造者用自动程序到各大论坛发帖，建立对自己网页的链接，以提高排序，就是一种常见的做假手法。为了遏制做假，谷歌采取了很多技术手段，并对有些做假网站采取了严厉的惩罚措施。这种惩罚（有时是误罚）对于某些靠互联网吃饭的公司有毁灭性的打击力。
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[8]从投资角度讲，斯坦福大学显然是过早卖掉了股票，否则获利将更为丰厚。不过，这正是美国名校的一个可贵之处，它们虽擅长从支持技术研发中获利，却并不唯利是图。它们有自己的原则，那就是不能让商业利益干扰学术研究。为此，它们通常不愿长时间持有特定公司的股票，以免在无形中干扰与该公司存在竞争关系的学术研究的开展。
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[9]有些读者对“是数学成就了谷歌”这一说法不以为然，认为是佩奇和布林的商业才能，或将数学与商业结合起来的才能成就了谷歌。这是一个见仁见智的问题，看法不同不足为奇。我之所以认为是数学成就了谷歌，是因为谷歌当年胜过其他搜索引擎的地方只有算法。除算法外，佩奇和布林当年并无其他胜过竞争对手的手段，包括商业手段。如果让他们去当其他几家搜索引擎公司的老总，用那几家公司的算法，他们是不可能脱颖而出的；而反过来，如果让其他几家搜索引擎公司的老总来管理谷歌，用谷歌的算法，我相信谷歌依然能超越对手。因此，虽然谷歌后来确实用过不少出色的商业手段（任何一家那样巨型的公司都必然有商业手段上的成功之处），而当年那个算法在今天的谷歌——如正文所述——则早已被更复杂的算法所取代，但我认为谷歌制胜的根基和根源在于那个算法，而非商业手段，因此我说“是数学成就了谷歌”。
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 [:1707611260]
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 第二部分 物理
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绘画：张京
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 从巴西的蝴蝶到得克萨斯的飓风[1]
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 [:1707611262]
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一、决定论
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在本书《时间旅行：科学还是幻想？》一文的第四节中，我们曾提到混沌理论中的一个概念：蝴蝶效应（butterfly effect）。这个效应也被称为对初始条件的敏感依赖性，指的是在某些——通常是非线性的——物理体系中，初始条件的细微改变有可能对体系的未来演化产生巨大影响。它的一种很富诗意的形容，是说巴西的一只蝴蝶拍动翅膀产生的空气扰动，有可能演变成美国得克萨斯州的一场飓风。这也是蝴蝶效应这一名称的主要由来。本文将对这一概念及其历史做一个简单介绍。
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我们知道，人类描述自然的努力，很大程度上体现在对自然现象的时间演化进行描述上。这种描述在许多方面都取得了很大的成功。早在300多年前，英国科学家牛顿（Isaac Newton）就建立了我们称为牛顿力学的理论体系，对小至钟摆、陀螺，大至行星运动的各种自然现象的时间演化做出了极为精确的描述。1846年，天文学家们在牛顿力学所预言的位置近旁发现了几十亿千米之外的太阳系第8大行星——海王星，成为牛顿力学最辉煌的成就之一[2]。
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牛顿力学的成功，除了体现在对某些自然现象时间演化的极为精确的描述外，还留下了一个非常重要的遗产，那就是决定论的思想。按照这一思想，从一个物理体系在某一时刻的状态，可以推算出它在任何其他时刻的状态。人们后来知道，牛顿力学本身只适用于描述一定范围内的力学现象，但它所留下的决定论思想却适用于几乎所有已知的物理定律，甚至在一定程度上包括了被公认为是非决定论性的量子力学[3]。
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那么，决定论思想所具有的如此广泛的适用性，是否意味着我们在原则上可以对物理现象作出精确预言呢？在很长一段时间里，答案被认为是肯定的。但是，与这种被认为原则上可以做到的精确预言形成鲜明对比的，是实际上能精确求解的物理问题的稀少。以天体运动为例，人们能精确求解的只有二体问题。一旦把太阳、地球和月球这三个最熟悉的天体同时考虑进去，就没法精确求解了[4]。又比如流体运动，能精确求解的只有一些非常理想的情形，一旦把像黏滞性那样最常见的现实性质考虑进去，也就没法精确求解了。物理学家们能精确求解的问题，大都附加了各种简化条件。而真正的自然现象几乎从来都不满足那些条件，从而几乎没有一个是能精确求解的。
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幸运的是，在那些无法精确求解的问题中，有一部分非常接近于某些能精确求解的问题。比如地球绕太阳的运转，所有其他天体的影响都相当微小，因此这一问题非常接近于能精确求解的二体问题。而且这两者的差异还可以通过各种手段加以弥补。正是由于这些近似手段——包括数值近似——的存在，使得物理学家们虽然很少能精确求解问题，却依然能对很多自然现象的演化做出非常成功的描述。
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