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2014年9月24日最新修订
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[1]本文的一个缩略修改版曾发表于《科幻世界》2007年第1期（科幻世界出版社出版）。
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[2]不过后来的研究表明，海王星在距离理论预言非常近——相差不到1°——的位置上被发现有一定的偶然性。关于这一点，可参阅拙作《那颗星星不在星图上：寻找太阳系的疆界》的第20章。
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[3]量子力学的状态演化是决定论性的，但量子测量过程是否也是决定论性的，则有一定的争议（虽然非决定论性的观点明显占优）。
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[4]这还是在假定引力是由牛顿万有引力定律所描述的情况下，如果改用广义相对论，则连二体问题也无法严格求解。
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[5]不过《科学与方法》是一部科学哲学著作，庞加莱在自己的学术论文中并未明确表述过类似的结论。
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[6]举个例子来说，如果把大气层用长、宽、高分别为100千米、100千米及100米的单元进行分割，则描述整个大气层——假定高度为30千米——的温度与风速所需的变量总数大约为500万。分割越细、引进的物理量越多，所需的变量数目也就越大。
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[7]严格地讲，由于无法得到精确的初始条件，以及无法在计算过程中保留无限的精度，即便没有蝴蝶效应，绝对精确的预言也是不可能的。但在没有蝴蝶效应的情况下，误差的影响往往是可控制的，蝴蝶效应的出现使误差的影响变得不可控制。另外需要说明的是，这里所说的“葬送了建立在决定论思想之上的对物理现象进行精确预言的梦想”与建立在微分方程解的存在及唯一性基础之上的决定论本身不是一回事，后者不会因为蝴蝶效应而破灭。
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[8]索兹曼与20世纪上半叶的那些科学家一样，对周期运动更感兴趣，因此没能在自己的模型上做出像洛伦兹那样的发现，虽然他在自己的模型中也已经发现了一些非周期性的解。
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[9]在这一点上，洛伦兹很受幸运女神的眷顾。他的方程组中含有一个被称为普朗特常数（Prandtl constant）的参数，这个参数对于水大约为10，对于空气则大约为1。洛伦兹与索兹曼都是气象学家，他们采用的数值原本应该是对应于空气的1，但实际上两人却都采用了对应于水的10。后来的研究发现，如果当时他们采用了对应于空气的普朗特常数，那个模型的解将是周期性的，洛伦兹将不可能得到他所需要的结果。
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[10]不过那篇演讲的全文当时并未发表。另外需要提醒读者的是：蝴蝶效应的这一通俗表述有一定的误导性，容易让人以为在“蝴蝶拍动翅膀”与“得克萨斯的飓风”之间存在直接的因果联系。事实上，“蝴蝶拍动翅膀”和“得克萨斯的飓风”只是泛指初始条件的细微改变和体系未来演化的巨大变化，“得克萨斯的飓风”的物理起因有赖于无数的因素，绝非只是“蝴蝶拍动翅膀”。
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 [:1707611267]
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦
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绘画：张京
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 关于时钟佯谬
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 [:1707611268]
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一、时钟佯谬简史
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在相对论的历史上，曾出现过一些流传很广的佯谬——也可以说是意外。之所以说是意外，是因为一些知名物理学家也参与了某些话题的讨论，给出的答案却不尽相同，从而使被讨论的话题变得更像佯谬。时钟佯谬（clock paradox）就是其中最著名的一个。
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时钟佯谬源于一个很简单的问题：在惯性参照系中有两个彼此校准了的时钟，一个保持静止，另一个沿闭合路线运动后回到原地，问两个时钟重新相遇时哪个时钟慢了？
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最早对这个问题作出回答的当然不是别人，而是爱因斯坦（Albert Einstein）本人。他在狭义相对论的开山之作《论动体的电动力学》（On the Electrodynamics of Moving Bodies）中对这一问题给予了明确回答，答案是运动时钟慢了，理由是狭义相对论的时钟延缓（time retardation）效应[1]。但不知是没往那个角度考虑，还是觉得那不是问题，爱因斯坦只在静止时钟参照系中回答了这一问题，而未如许多后人所做的那样，将静止时钟参照系与运动时钟参照系视为对等来进行分析，从而没有触及后来被称为“佯谬”的东西——即两个时钟均认为自己静止，对方运动，从而在表观上彼此矛盾地均认为是对方慢了。
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文献中最早触及时钟佯谬，并试图给予解释的知名人士是法国物理学家朗之万（Paul Langevin）。他在1911年发表的一篇题为《空间和时间的演进》（The Evolution of Space and Time）的文章中提出：解释时钟佯谬的要点，是注意到运动时钟经历了加速运动，而静止时钟没有经历加速运动。在那篇文章中，他还引入了两条很受后人欢迎的“人性化措施”：一是将时钟换成人，二是采用两人互发光信号的方法来比较各自经历的时间。朗之万这篇文章影响了很多人，时钟佯谬的别名“双生子佯谬”（twin paradox）据说就是他将时钟换成人所引发的（图2）。直至今日，许多初等教材及科普读物仍采用朗之万的方法分析时钟佯谬（有些著作还将两人互发光信号改成更“亲密”地互数对方心跳）。
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