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[8]索兹曼与20世纪上半叶的那些科学家一样，对周期运动更感兴趣，因此没能在自己的模型上做出像洛伦兹那样的发现，虽然他在自己的模型中也已经发现了一些非周期性的解。
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[9]在这一点上，洛伦兹很受幸运女神的眷顾。他的方程组中含有一个被称为普朗特常数（Prandtl constant）的参数，这个参数对于水大约为10，对于空气则大约为1。洛伦兹与索兹曼都是气象学家，他们采用的数值原本应该是对应于空气的1，但实际上两人却都采用了对应于水的10。后来的研究发现，如果当时他们采用了对应于空气的普朗特常数，那个模型的解将是周期性的，洛伦兹将不可能得到他所需要的结果。
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[10]不过那篇演讲的全文当时并未发表。另外需要提醒读者的是：蝴蝶效应的这一通俗表述有一定的误导性，容易让人以为在“蝴蝶拍动翅膀”与“得克萨斯的飓风”之间存在直接的因果联系。事实上，“蝴蝶拍动翅膀”和“得克萨斯的飓风”只是泛指初始条件的细微改变和体系未来演化的巨大变化，“得克萨斯的飓风”的物理起因有赖于无数的因素，绝非只是“蝴蝶拍动翅膀”。
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦
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绘画：张京
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 关于时钟佯谬
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一、时钟佯谬简史
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在相对论的历史上，曾出现过一些流传很广的佯谬——也可以说是意外。之所以说是意外，是因为一些知名物理学家也参与了某些话题的讨论，给出的答案却不尽相同，从而使被讨论的话题变得更像佯谬。时钟佯谬（clock paradox）就是其中最著名的一个。
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时钟佯谬源于一个很简单的问题：在惯性参照系中有两个彼此校准了的时钟，一个保持静止，另一个沿闭合路线运动后回到原地，问两个时钟重新相遇时哪个时钟慢了？
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最早对这个问题作出回答的当然不是别人，而是爱因斯坦（Albert Einstein）本人。他在狭义相对论的开山之作《论动体的电动力学》（On the Electrodynamics of Moving Bodies）中对这一问题给予了明确回答，答案是运动时钟慢了，理由是狭义相对论的时钟延缓（time retardation）效应[1]。但不知是没往那个角度考虑，还是觉得那不是问题，爱因斯坦只在静止时钟参照系中回答了这一问题，而未如许多后人所做的那样，将静止时钟参照系与运动时钟参照系视为对等来进行分析，从而没有触及后来被称为“佯谬”的东西——即两个时钟均认为自己静止，对方运动，从而在表观上彼此矛盾地均认为是对方慢了。
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文献中最早触及时钟佯谬，并试图给予解释的知名人士是法国物理学家朗之万（Paul Langevin）。他在1911年发表的一篇题为《空间和时间的演进》（The Evolution of Space and Time）的文章中提出：解释时钟佯谬的要点，是注意到运动时钟经历了加速运动，而静止时钟没有经历加速运动。在那篇文章中，他还引入了两条很受后人欢迎的“人性化措施”：一是将时钟换成人，二是采用两人互发光信号的方法来比较各自经历的时间。朗之万这篇文章影响了很多人，时钟佯谬的别名“双生子佯谬”（twin paradox）据说就是他将时钟换成人所引发的（图2）。直至今日，许多初等教材及科普读物仍采用朗之万的方法分析时钟佯谬（有些著作还将两人互发光信号改成更“亲密”地互数对方心跳）。
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图2 时钟佯谬的别名是双生子佯谬
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继朗之万之后，德国物理学家冯·劳厄（Max von Laue）也对时钟佯谬提出了解释。他在1912年发表的一篇题为《两种反相对论意见及对它们的反驳》（Two Objections against the Theory of Relativity and Their Refutation）的文章中提出：解释时钟佯谬的要点，是注意到运动时钟在从远离转为返回的过程中更换了参照系，而静止时钟没有更换参照系。他的这一看法也被一些人采纳，成为分析时钟佯谬的切入点之一。
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爱因斯坦本人则似乎直到广义相对论发表之后，才对时钟佯谬中的“佯谬”部分发表看法。他在1918年发表的一篇题为《关于反相对论意见的对话》（Dialog about Objections against the Theory of Relativity）的文章中运用自己的“独门武器”等效原理提出了一种看法。他认为解释时钟佯谬的要点，是注意到运动时钟受到了与加速场等效的引力场的影响，而静止时钟没有受到那样的影响。由于引力场中的时钟延缓是广义相对论的推论，加上爱因斯坦在相对论领域的巨大威望，他的解释在很长的时间里被视为了时钟佯谬的正解。20世纪上半叶的很多相对论名著，比如奥地利物理学家泡利（Wolfgang Pauli）的《相对论》（Theory of Relativity）、丹麦物理学家莫勒（Christian Møller）的《相对论》（Theory of Relativity）、美国物理学家托曼（Richard C. Tolman）的《相对论、热力学及宇宙学》（Relativity, Thermodynamics, and Cosmology）等都采用了爱因斯坦的观点，认为时钟佯谬需要用广义相对论来解释。甚至连后来出版的一些知名著作，比如20世纪70年代出版的日本物理学家汤川秀树的《经典物理学》，也认为时钟佯谬“在狭义相对论框架中考虑时是佯谬，但若考虑广义相对论就不再是佯谬了”。
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不过，以上这些物理学家对时钟佯谬的解释虽各有各的侧重点，而且从现代观点来看，都不够切中要害，但他们的结论是一致的，并且也是正确的，那就是运动时钟慢了（这一结论后来得到了实验证实）。时钟佯谬作为“佯谬”的正史大体就是这些，但在结束本节之前，有一段“外史”必须提一下，因为时钟佯谬作为“佯谬”的名声，在很大程度上其实是被那段“外史”搅起来的。那段“外史”就是英国哲学家丁格尔（Herbert Dingle）在20世纪50年代末对相对论的猛烈攻击，而那攻击的主要目标就是时钟佯谬。丁格尔在攻击中先是认为两个时钟应显示相同时间，遭驳斥后又转而宣称相对论的预言与经验不符（实际上有关时钟佯谬的预言当时就已得到了µ子衰变实验的支持），甚至连数学上显而易见的洛伦兹变换存在逆变换这一基本事实，也被他斥为明显不可能。
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这样一个用上海话讲根本就“拎勿清爽”的人物照说是不配在本节中被提及的，但历史有时是充满惊奇的，这位“拎勿清爽”的丁格尔先生在1951—1953年间竟担任过英国皇家天文学会（Royal Astronomical Society）的主席[2]，并且还是英国科学史学会（British Society for the History of Science）的创始成员之一以及1955—1957年间的主席。也许是因为这些背景的缘故，几十位物理学家对他那破绽百出的文字进行了认真驳斥，从而构成了时钟佯谬历史上一段虽无价值，却引人注目的“外史”，并在最大程度上成就了时钟佯谬作为“佯谬”的名声。
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 [:1707611269]
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 二、时钟佯谬简析