1707612020
1707612021
[4]这还是在假定引力是由牛顿万有引力定律所描述的情况下，如果改用广义相对论，则连二体问题也无法严格求解。
1707612022
1707612023
[5]不过《科学与方法》是一部科学哲学著作，庞加莱在自己的学术论文中并未明确表述过类似的结论。
1707612024
1707612025
[6]举个例子来说，如果把大气层用长、宽、高分别为100千米、100千米及100米的单元进行分割，则描述整个大气层——假定高度为30千米——的温度与风速所需的变量总数大约为500万。分割越细、引进的物理量越多，所需的变量数目也就越大。
1707612026
1707612027
[7]严格地讲，由于无法得到精确的初始条件，以及无法在计算过程中保留无限的精度，即便没有蝴蝶效应，绝对精确的预言也是不可能的。但在没有蝴蝶效应的情况下，误差的影响往往是可控制的，蝴蝶效应的出现使误差的影响变得不可控制。另外需要说明的是，这里所说的“葬送了建立在决定论思想之上的对物理现象进行精确预言的梦想”与建立在微分方程解的存在及唯一性基础之上的决定论本身不是一回事，后者不会因为蝴蝶效应而破灭。
1707612028
1707612029
[8]索兹曼与20世纪上半叶的那些科学家一样，对周期运动更感兴趣，因此没能在自己的模型上做出像洛伦兹那样的发现，虽然他在自己的模型中也已经发现了一些非周期性的解。
1707612030
1707612031
[9]在这一点上，洛伦兹很受幸运女神的眷顾。他的方程组中含有一个被称为普朗特常数（Prandtl constant）的参数，这个参数对于水大约为10，对于空气则大约为1。洛伦兹与索兹曼都是气象学家，他们采用的数值原本应该是对应于空气的1，但实际上两人却都采用了对应于水的10。后来的研究发现，如果当时他们采用了对应于空气的普朗特常数，那个模型的解将是周期性的，洛伦兹将不可能得到他所需要的结果。
1707612032
1707612033
[10]不过那篇演讲的全文当时并未发表。另外需要提醒读者的是：蝴蝶效应的这一通俗表述有一定的误导性，容易让人以为在“蝴蝶拍动翅膀”与“得克萨斯的飓风”之间存在直接的因果联系。事实上，“蝴蝶拍动翅膀”和“得克萨斯的飓风”只是泛指初始条件的细微改变和体系未来演化的巨大变化，“得克萨斯的飓风”的物理起因有赖于无数的因素，绝非只是“蝴蝶拍动翅膀”。
1707612034
1707612035
1707612036
1707612037
1707612038
因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 [:1707611267]
1707612039
1707612040
因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦
1707612041
1707612042
绘画：张京
1707612043
1707612044
1707612045
1707612046
1707612047
因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 关于时钟佯谬
1707612048
1707612049
因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 [:1707611268]
1707612050
一、时钟佯谬简史
1707612051
1707612052
在相对论的历史上，曾出现过一些流传很广的佯谬——也可以说是意外。之所以说是意外，是因为一些知名物理学家也参与了某些话题的讨论，给出的答案却不尽相同，从而使被讨论的话题变得更像佯谬。时钟佯谬（clock paradox）就是其中最著名的一个。
1707612053
1707612054
时钟佯谬源于一个很简单的问题：在惯性参照系中有两个彼此校准了的时钟，一个保持静止，另一个沿闭合路线运动后回到原地，问两个时钟重新相遇时哪个时钟慢了？
1707612055
1707612056
最早对这个问题作出回答的当然不是别人，而是爱因斯坦（Albert Einstein）本人。他在狭义相对论的开山之作《论动体的电动力学》（On the Electrodynamics of Moving Bodies）中对这一问题给予了明确回答，答案是运动时钟慢了，理由是狭义相对论的时钟延缓（time retardation）效应[1]。但不知是没往那个角度考虑，还是觉得那不是问题，爱因斯坦只在静止时钟参照系中回答了这一问题，而未如许多后人所做的那样，将静止时钟参照系与运动时钟参照系视为对等来进行分析，从而没有触及后来被称为“佯谬”的东西——即两个时钟均认为自己静止，对方运动，从而在表观上彼此矛盾地均认为是对方慢了。
1707612057
1707612058
文献中最早触及时钟佯谬，并试图给予解释的知名人士是法国物理学家朗之万（Paul Langevin）。他在1911年发表的一篇题为《空间和时间的演进》（The Evolution of Space and Time）的文章中提出：解释时钟佯谬的要点，是注意到运动时钟经历了加速运动，而静止时钟没有经历加速运动。在那篇文章中，他还引入了两条很受后人欢迎的“人性化措施”：一是将时钟换成人，二是采用两人互发光信号的方法来比较各自经历的时间。朗之万这篇文章影响了很多人，时钟佯谬的别名“双生子佯谬”（twin paradox）据说就是他将时钟换成人所引发的（图2）。直至今日，许多初等教材及科普读物仍采用朗之万的方法分析时钟佯谬（有些著作还将两人互发光信号改成更“亲密”地互数对方心跳）。
1707612059
1707612060
1707612061
1707612062
1707612063
图2 时钟佯谬的别名是双生子佯谬
1707612064
1707612065
继朗之万之后，德国物理学家冯·劳厄（Max von Laue）也对时钟佯谬提出了解释。他在1912年发表的一篇题为《两种反相对论意见及对它们的反驳》（Two Objections against the Theory of Relativity and Their Refutation）的文章中提出：解释时钟佯谬的要点，是注意到运动时钟在从远离转为返回的过程中更换了参照系，而静止时钟没有更换参照系。他的这一看法也被一些人采纳，成为分析时钟佯谬的切入点之一。
1707612066
1707612067
爱因斯坦本人则似乎直到广义相对论发表之后，才对时钟佯谬中的“佯谬”部分发表看法。他在1918年发表的一篇题为《关于反相对论意见的对话》（Dialog about Objections against the Theory of Relativity）的文章中运用自己的“独门武器”等效原理提出了一种看法。他认为解释时钟佯谬的要点，是注意到运动时钟受到了与加速场等效的引力场的影响，而静止时钟没有受到那样的影响。由于引力场中的时钟延缓是广义相对论的推论，加上爱因斯坦在相对论领域的巨大威望，他的解释在很长的时间里被视为了时钟佯谬的正解。20世纪上半叶的很多相对论名著，比如奥地利物理学家泡利（Wolfgang Pauli）的《相对论》（Theory of Relativity）、丹麦物理学家莫勒（Christian Møller）的《相对论》（Theory of Relativity）、美国物理学家托曼（Richard C. Tolman）的《相对论、热力学及宇宙学》（Relativity, Thermodynamics, and Cosmology）等都采用了爱因斯坦的观点，认为时钟佯谬需要用广义相对论来解释。甚至连后来出版的一些知名著作，比如20世纪70年代出版的日本物理学家汤川秀树的《经典物理学》，也认为时钟佯谬“在狭义相对论框架中考虑时是佯谬，但若考虑广义相对论就不再是佯谬了”。
1707612068
1707612069
不过，以上这些物理学家对时钟佯谬的解释虽各有各的侧重点，而且从现代观点来看，都不够切中要害，但他们的结论是一致的，并且也是正确的，那就是运动时钟慢了（这一结论后来得到了实验证实）。时钟佯谬作为“佯谬”的正史大体就是这些，但在结束本节之前，有一段“外史”必须提一下，因为时钟佯谬作为“佯谬”的名声，在很大程度上其实是被那段“外史”搅起来的。那段“外史”就是英国哲学家丁格尔（Herbert Dingle）在20世纪50年代末对相对论的猛烈攻击，而那攻击的主要目标就是时钟佯谬。丁格尔在攻击中先是认为两个时钟应显示相同时间，遭驳斥后又转而宣称相对论的预言与经验不符（实际上有关时钟佯谬的预言当时就已得到了µ子衰变实验的支持），甚至连数学上显而易见的洛伦兹变换存在逆变换这一基本事实，也被他斥为明显不可能。