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文献中最早触及时钟佯谬，并试图给予解释的知名人士是法国物理学家朗之万（Paul Langevin）。他在1911年发表的一篇题为《空间和时间的演进》（The Evolution of Space and Time）的文章中提出：解释时钟佯谬的要点，是注意到运动时钟经历了加速运动，而静止时钟没有经历加速运动。在那篇文章中，他还引入了两条很受后人欢迎的“人性化措施”：一是将时钟换成人，二是采用两人互发光信号的方法来比较各自经历的时间。朗之万这篇文章影响了很多人，时钟佯谬的别名“双生子佯谬”（twin paradox）据说就是他将时钟换成人所引发的（图2）。直至今日，许多初等教材及科普读物仍采用朗之万的方法分析时钟佯谬（有些著作还将两人互发光信号改成更“亲密”地互数对方心跳）。
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图2 时钟佯谬的别名是双生子佯谬
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继朗之万之后，德国物理学家冯·劳厄（Max von Laue）也对时钟佯谬提出了解释。他在1912年发表的一篇题为《两种反相对论意见及对它们的反驳》（Two Objections against the Theory of Relativity and Their Refutation）的文章中提出：解释时钟佯谬的要点，是注意到运动时钟在从远离转为返回的过程中更换了参照系，而静止时钟没有更换参照系。他的这一看法也被一些人采纳，成为分析时钟佯谬的切入点之一。
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爱因斯坦本人则似乎直到广义相对论发表之后，才对时钟佯谬中的“佯谬”部分发表看法。他在1918年发表的一篇题为《关于反相对论意见的对话》（Dialog about Objections against the Theory of Relativity）的文章中运用自己的“独门武器”等效原理提出了一种看法。他认为解释时钟佯谬的要点，是注意到运动时钟受到了与加速场等效的引力场的影响，而静止时钟没有受到那样的影响。由于引力场中的时钟延缓是广义相对论的推论，加上爱因斯坦在相对论领域的巨大威望，他的解释在很长的时间里被视为了时钟佯谬的正解。20世纪上半叶的很多相对论名著，比如奥地利物理学家泡利（Wolfgang Pauli）的《相对论》（Theory of Relativity）、丹麦物理学家莫勒（Christian Møller）的《相对论》（Theory of Relativity）、美国物理学家托曼（Richard C. Tolman）的《相对论、热力学及宇宙学》（Relativity, Thermodynamics, and Cosmology）等都采用了爱因斯坦的观点，认为时钟佯谬需要用广义相对论来解释。甚至连后来出版的一些知名著作，比如20世纪70年代出版的日本物理学家汤川秀树的《经典物理学》，也认为时钟佯谬“在狭义相对论框架中考虑时是佯谬，但若考虑广义相对论就不再是佯谬了”。
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不过，以上这些物理学家对时钟佯谬的解释虽各有各的侧重点，而且从现代观点来看，都不够切中要害，但他们的结论是一致的，并且也是正确的，那就是运动时钟慢了（这一结论后来得到了实验证实）。时钟佯谬作为“佯谬”的正史大体就是这些，但在结束本节之前，有一段“外史”必须提一下，因为时钟佯谬作为“佯谬”的名声，在很大程度上其实是被那段“外史”搅起来的。那段“外史”就是英国哲学家丁格尔（Herbert Dingle）在20世纪50年代末对相对论的猛烈攻击，而那攻击的主要目标就是时钟佯谬。丁格尔在攻击中先是认为两个时钟应显示相同时间，遭驳斥后又转而宣称相对论的预言与经验不符（实际上有关时钟佯谬的预言当时就已得到了µ子衰变实验的支持），甚至连数学上显而易见的洛伦兹变换存在逆变换这一基本事实，也被他斥为明显不可能。
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这样一个用上海话讲根本就“拎勿清爽”的人物照说是不配在本节中被提及的，但历史有时是充满惊奇的，这位“拎勿清爽”的丁格尔先生在1951—1953年间竟担任过英国皇家天文学会（Royal Astronomical Society）的主席[2]，并且还是英国科学史学会（British Society for the History of Science）的创始成员之一以及1955—1957年间的主席。也许是因为这些背景的缘故，几十位物理学家对他那破绽百出的文字进行了认真驳斥，从而构成了时钟佯谬历史上一段虽无价值，却引人注目的“外史”，并在最大程度上成就了时钟佯谬作为“佯谬”的名声。
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 [:1707611269]
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 二、时钟佯谬简析
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以上就是时钟佯谬的简史，对于我的读者来说，还可以补充一段史上最小的八卦，那就是我“小时候”也曾认同过广义相对论才是时钟佯谬正解的看法，在自己网站（http://www.changhai.org/）的昔日版本中还贴过怀旧之作，对某些基于朗之万和冯·劳厄思路的解释进行了“呛声”。也许是因此之故，常有网友问及时钟佯谬。从这个意义上讲，本文可算是一篇还债之作——还那怀旧之作引发的文债。
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这篇还债之作之所以拖到今天才写，不是企图“赖债”，而是因为时钟佯谬的现代解释实在太简单了，简直就是“一句话解释”，就算加上注解，似乎也构不成一篇文章。当然，这种估计如今看来显然是错误的，因为真要写的话，几乎没什么话题是构不成文章的。
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好了，现在言归正传，谈谈时钟佯谬的现代解释。自20世纪70年代以来，有关相对论的许多教材和专著，比如沃尔德（Robert M. Wald）的《广义相对论》（General Relativity）、托雷提（Roberto Torretti）的《相对论与几何》（Relativity and Geometry）、伦德勒（Wolfgang Rindler）的《相对论》（Relativity）、萨克斯（Rainer Sachs）等人的《数学家用广义相对论》（General Relativity for Mathematicians）、米斯纳（Charles W. Misner）等人的《引力》（Gravitation）、塞克斯尔（Roman U. Sexl）等人的《相对论、群论、粒子》（Relativity, Groups, Particles）等都采用了几何语言来阐述时钟佯谬，这就是所谓时钟佯谬的现代解释。在中文文献中，梁灿彬等人的《微分几何入门与广义相对论》也采用了现代解释，中文读者可以参考[3]。
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那么究竟什么是时钟佯谬的现代解释呢？我没有忽悠诸位，它的要点确实只有一句话，那就是：时钟记录的是自己的世界线长度。在时钟佯谬中，之所以是运动时钟慢了，原因就是它的世界线长度较短。这里唯一要说明的是，所谓“世界线长度”指的是闵科夫斯基空间中的长度[4]，它与普通空间中的长度有一个最大的区别，那就是前者的测地线（即“直线”）长度是极大值而不是极小值。（请读者想一想，这是闵科夫斯基空间的什么特点造成的？）但无论闵科夫斯基空间还是普通空间，有一点是共同的，那就是长度是坐标变换下的不变量，从而与参照系或坐标系的选择无关[5]。
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在这样的几何语言下，时钟佯谬的结论，即运动时钟比静止时钟慢，不过是对两个时钟的世界线长度不同这一简单事实的简单陈述而已，并不比普通空间中两条曲线的长度不同来得奥妙，更没有任何佯谬可言。这一点是如此的显而易见，以至于前面提到的《相对论与几何》一书的作者托雷提感慨道：“相对论时钟是类时世界线上的里程表，假如人们对这一事实有过更多关注，那么在所谓时钟佯谬上付出过的很多努力就可以省掉了。”
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但话虽如此，如果我们在这里就结束本文，有些读者也许会感到失望，因为在时钟佯谬的传统讨论中，人们曾花大力气讨论运动时钟参照系，试图说明该参照系也能理解运动时钟变慢这一结论。即便那些努力如今“可以省掉了”，但若不把那最令人困惑的运动时钟参照系单独拿出来，更直接地讨论一下，似乎多少有些偷懒的感觉。为了“抚平”这种感觉，我们再多说几句。
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图3 时钟佯谬的时空图
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如前所述，在时钟佯谬的现代解释中，运动时钟之所以慢了，原因是它的世界线长度较短。如果画出时空图的话，静止时钟的世界线是直线，运动时钟的世界线是曲线（参阅图3），两者起始点相同，但曲线的长度较短（因为是闵科夫斯基空间）。这一切当然都是几何语言。那么，在这种语言中运动时钟参照系是什么呢？它就是把运动时钟的世界线视为直线，而把静止时钟的世界线视为曲线的坐标系。这种坐标系其实我们并不陌生，它就是曲线坐标系——把运动时钟的世界线作为时间轴的曲线坐标系。明白了这一点，运动时钟参照系里的问题就迎刃而解了，因为曲线坐标系虽然完全合法，而且确实能在表观上使两条世界线的“曲”、“直”互换，却不会改变它们的长度，从而不会改变时钟佯谬的结论，因为曲线坐标系有一个众所周知的“副作用”，那就是会改变度规的形式，使之不再是闵科夫斯基度规ds2 =ημνdxμdxν或欧几里得度规ds2 = δijdxidxj。比如极坐标下的度规是ds2 =dr2+r2dθ2而不是ds2=dr2+dθ2。正是这种度规改变抵消了“曲”、“直”互换的影响，使得长度不变，从而保证了时钟佯谬的结论不变[6]。
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当然，这一切其实就是对“长度是坐标变换下的不变量”这一简单事实的繁琐说明，只不过这样一说明，或许显得更像是“解释”而已。另外，它也示范了一种方法，即当我们对时钟佯谬的某个方面感到困惑时，想想它在几何语言下的对应，以及在普通空间中的类比，往往会豁然开朗。
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在本节的最后，我们评论一下“时钟佯谬需要用广义相对论来解释”这一流传很广的观点。很明显，时钟佯谬的现代解释并不支持这种观点。时钟佯谬作为闵科夫斯基空间中的现象，是完全可以，并且也应该用狭义相对论来解释的——正如上述现代解释所做的那样。事实上，在闵科夫斯基空间中无论采用什么参照系或坐标系，都不可能使四维曲率张量非零，从而不可能出现曲率意义下的引力场。不仅如此，迄今为止除上述现代解释外，对时钟佯谬的任何其他解释都是针对特例或近似的。比如朗之万和冯·劳厄的解释通常只被用于运动时钟匀速远离，再匀速飞回的特例；爱因斯坦的解释则往往要采用广义相对论的弱场近似。与之相比，时钟佯谬的现代解释完全不受那些特例或近似的约束，从而有极大的普适性。哪怕两个时钟都作任意复杂的类时运动，现代解释依然适用（传统解释则会变得苦不堪言）。甚至当我们把时钟佯谬的舞台由闵科夫斯基空间搬到更复杂的空间，从而越出狭义相对论的范围时，现代解释依然适用（只需增添一个非平凡的背景度规即可）[7]。
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