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在本节的最后，我们评论一下“时钟佯谬需要用广义相对论来解释”这一流传很广的观点。很明显，时钟佯谬的现代解释并不支持这种观点。时钟佯谬作为闵科夫斯基空间中的现象，是完全可以，并且也应该用狭义相对论来解释的——正如上述现代解释所做的那样。事实上，在闵科夫斯基空间中无论采用什么参照系或坐标系，都不可能使四维曲率张量非零，从而不可能出现曲率意义下的引力场。不仅如此，迄今为止除上述现代解释外，对时钟佯谬的任何其他解释都是针对特例或近似的。比如朗之万和冯·劳厄的解释通常只被用于运动时钟匀速远离，再匀速飞回的特例；爱因斯坦的解释则往往要采用广义相对论的弱场近似。与之相比，时钟佯谬的现代解释完全不受那些特例或近似的约束，从而有极大的普适性。哪怕两个时钟都作任意复杂的类时运动，现代解释依然适用（传统解释则会变得苦不堪言）。甚至当我们把时钟佯谬的舞台由闵科夫斯基空间搬到更复杂的空间，从而越出狭义相对论的范围时，现代解释依然适用（只需增添一个非平凡的背景度规即可）[7]。
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 三、关于理想时钟
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在结束本文前，我们还要讨论一个衍生话题：什么是时钟？之所以要讨论这个话题，是因为时钟佯谬的传统解释，尤其是爱因斯坦的思路，很容易产生一个与“什么是时钟？”密切相关的问题，那就是加速度究竟会不会对时钟产生影响？关于这个问题，许多现代教材及专著——比如前面提到的托雷提、塞克斯尔、伦德勒、米斯纳等人的著作——都给出了明确回答，我们在这里作一个简单介绍。
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首先要指出的是，对于具体的时钟来说，这个问题的答案显然与时钟的结构有关（而且大都是肯定的），比如对加速场中的摆钟来说，加速度越大，摆动的周期就越短，如果我们用这种摆钟的摆动次数来计时，加速度对它显然是有影响的。又比如对人来说，如果我们将生理节律作为时钟——就像郎之万所做的那样，它显然也会受加速度影响，在足够大的加速度下——对飞行员来说是10g以上，对本文作者来说估计5g就够了——甚至会“停止计时”（一命呜呼）。不仅宏观世界的时钟如此，曾被用来验证相对论的原子钟，严格讲也是会受加速度影响的，因为它的能级结构与包括加速场在内的各种外场有关。甚至连最早对时钟延缓效应作出实验判决的μ子的衰变，我们也并不肯定它不会受加速度影响。只不过，对于微观世界的时钟来说，与它内部的微观相互作用相比，加速场的影响往往是微乎其微的，因此当我们采用微观世界的时钟时，通常都能忽略加速度的影响。
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但无论加速度对具体时钟的影响是有还是无，是大还是小，有一点是肯定的，那就是我们并不认为像摆钟受加速度影响，或本文作者在5g的加速度下“停止计时”那样的效应反映了时间的固有性质。相反，我们认为那是具体时钟的缺陷导致的表观效应，是可以、并且必须校正的。我们真正关心的是反映时间本质的时钟，即所谓的理想时钟。本文所说的时钟除非有特别说明，指的也全都是理想时钟。
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因此我们的问题其实是：什么是理想时钟？对此，相对论——无论狭义相对论还是广义相对论——的回答是：理想时钟是记录自己世界线长度的时钟。这是理想时钟的定义，被托雷提称为“时钟假设”（clock hypothesis）。不难证明，对于时钟佯谬所涉及的闵科夫斯基空间的时钟来说，这一定义给出的理想时钟与瞬时随动惯性系（momentarily co-moving inertial frame）里的时钟完全同步（请读者自行证明）[8]。由此，我们也得到了“加速度究竟会不会对时钟产生影响？”的答案，那就是加速度对理想时钟没有影响。
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细心的读者也许已经注意到了，上述理想时钟的定义其实正是前面提到过的时钟佯谬现代解释的要点，即“时钟记录的是自己的世界线长度”。时钟佯谬的现代解释之所以有极大的普适性，一个很根本的原因就是它实际上包含了理想时钟的定义。
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在本文的最后，给感兴趣的读者留两组思考题：
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（1）人们常说的“引力场中的时钟较慢”究竟是什么意思？把它与等效原理合在一起，是否会得出与“加速度对理想时钟没有影响”相矛盾的结论？
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（2）在理想时钟的定义中，只校正了加速度的影响，这是否是一种随意选择？能否把速度的影响也像加速度的影响一样校正掉？
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参考文献
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2011年5月14日写于纽约
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[1]也称为时间膨胀（time dilation）效应。
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[2]我试图查找丁格尔对天文学的贡献，却没能找到。他最主要的天文活动似乎是参加了1927年与1932年的日食远征队，但两次都因天气原因无功而返。他被选为皇家天文学会主席一事，据说连他自己都觉得惊讶，因为自20世纪30年代后期起，他就已经离开天文学，转而研究自然哲学了。
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[3]不过，梁灿彬等人的著作多加了一个似是而非的论据，即认为三维加速度是相对的，四维加速度才是绝对的，以此反驳那种认为加速度也是相对的观点。其实，就该书所述的情形——即该书自己援引的第6.3节——而言，在对解释时钟佯谬来说最关键的加速度的“有”和“无”的区分上，三维加速度与四维加速度都是绝对的（理由很简单，相对于一个惯性系作加速运动的物体相对于任何惯性系都是作加速运动的，从四维加速度的分量表达式也可看出，四维加速度为零当且仅当三维加速度为零），对两者作相对与绝对的划分对于解释时钟佯谬来说不仅似是而非，而且毫无必要。
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[4]对于类空曲线来说，这种长度常被称为“固有长度”（proper length），对于类时曲线来说，则常被称为“原时”或“固有时”（proper time）。另外，闵科夫斯基空间常被称为“闵科夫斯基时空”。
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[5]本文对“参照系”和“坐标系”这两个术语只作粗略区分：意在强调与核心物理观察者（即那两个时钟或双生子中的某一个）的关系时用“参照系”，意在强调具体数学坐标时用“坐标系”。
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