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[6]梁灿彬，周彬.微分几何入门与广义相对论（上册）[M].北京：科学出版社，2006.
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2011年5月14日写于纽约
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[1]也称为时间膨胀（time dilation）效应。
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[2]我试图查找丁格尔对天文学的贡献，却没能找到。他最主要的天文活动似乎是参加了1927年与1932年的日食远征队，但两次都因天气原因无功而返。他被选为皇家天文学会主席一事，据说连他自己都觉得惊讶，因为自20世纪30年代后期起，他就已经离开天文学，转而研究自然哲学了。
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[3]不过，梁灿彬等人的著作多加了一个似是而非的论据，即认为三维加速度是相对的，四维加速度才是绝对的，以此反驳那种认为加速度也是相对的观点。其实，就该书所述的情形——即该书自己援引的第6.3节——而言，在对解释时钟佯谬来说最关键的加速度的“有”和“无”的区分上，三维加速度与四维加速度都是绝对的（理由很简单，相对于一个惯性系作加速运动的物体相对于任何惯性系都是作加速运动的，从四维加速度的分量表达式也可看出，四维加速度为零当且仅当三维加速度为零），对两者作相对与绝对的划分对于解释时钟佯谬来说不仅似是而非，而且毫无必要。
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[4]对于类空曲线来说，这种长度常被称为“固有长度”（proper length），对于类时曲线来说，则常被称为“原时”或“固有时”（proper time）。另外，闵科夫斯基空间常被称为“闵科夫斯基时空”。
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[5]本文对“参照系”和“坐标系”这两个术语只作粗略区分：意在强调与核心物理观察者（即那两个时钟或双生子中的某一个）的关系时用“参照系”，意在强调具体数学坐标时用“坐标系”。
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[6]在讨论本文的过程中，有网友提出了这样一个问题：为什么运动时钟参照系必须接受一个“不平等”的度规，而不能像静止时钟参照系那样，认为自己的度规是闵科夫斯基度规？在时钟佯谬的框架中，这是因为一开始就已假定问题发生在闵科夫斯基空间中，而所谓“静止”时钟与“运动”时钟的唯一合理的定义就是前者的世界线为测地线，后者的世界线为非测地线，而且两者都是——并且也只能是——相对于背景度规来定义的（相对论不是一个马赫式的理论，在相对论中与奥地利哲学家马赫所设想的遥远星体所起作用最接近的东西就是背景度规），这就保证了只有前者所在的参照系可以自始至终使用闵科夫斯基度规，后者则只能使用从闵科夫斯基度规（通过坐标变换）诱导出来的度规。
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不过，这也引出了一个更一般的问题，那就是闵科夫斯基度规的特殊地位是从何而来的？在狭义相对论中，这可以说是一个基本假设（或经验事实）。那么，广义相对论的情况是否会强一些呢？它是否能对闵科夫斯基度规的特殊地位做出“更物理”的说明（从而也对时钟佯谬作出“更物理”的解释）呢？很遗憾，答案是否定的，因为闵科夫斯基度规的特殊地位在广义相对论中也是基本假设，因为广义相对论所用的赝黎曼空间就是局部为闵科夫斯基空间的流形（这是等效原理的体现），其度规则是可以局部地由闵科夫斯基度规诱导出来的。实际上，按照我们在正文中所建议的类比思路，闵科夫斯基度规在相对论中的地位与欧几里得度规在普通黎曼几何中的地位是完全相似的，两者都是切空间中的度规，都是诱导其他度规的基石。广义相对论无法比狭义相对论“更物理”地解释闵科夫斯基度规的特殊地位（从而也无法“更物理”地解释时钟佯谬），就好比黎曼几何无法比欧几里得几何更充分地说明欧几里得度规的特殊地位。
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[7]有人也许要问：时钟佯谬的传统解释到底算不算错误？我的看法是，在各自针对的特例或近似下，它们作为理解时钟佯谬的辅助手段，谈不上错误。但它们是否称得上解释，则取决于对“解释”一词的理解，我个人认为它们起码不算是好的解释。
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[8]瞬时随动惯性系是指在所考虑的时刻与运动时钟具有相同瞬时速度的惯性参照系，也称为“瞬时静止惯性系”（momentary inertial rest frame）。
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 从等效原理到爱因斯坦-嘉当理论
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一、等效原理
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众所周知，等效原理（equivalence principle）——即引力场与加速场的不可区分性——是局域的。在一个非局域的参照系——比如有限大小的“爱因斯坦升降机”（Einstein’s elevator）——中，我们可以通过对所谓“测地偏离”（geodesic deviation）效应的观测，来区分引力场与加速场。这种观测之所以有效，是因为所涉及的是联络（connection）的导数，或者说曲率（curvature）的分量，这是不能通过等效原理消去的。由于对测地偏离效应的观测是在有限大小而非局域的参照系中进行的，因此与等效原理并不矛盾。
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一般教材的讨论大都到此为止。
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很明显，若所有物理效应都只跟度规及联络有关，那等效原理的成立就是普遍的。但假如存在某种局域的物理效应与曲率相耦合，那么哪怕在局域的参照系中，我们也将可以通过对这种物理效应的观测，而对引力场与加速场做出区分。
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那样的物理效应是否存在呢？答案极有可能是肯定的。事实上，有自旋粒子的运动很可能就是那样的物理效应之一。虽然迄今尚无任何实验足以检验这类效应，但一般认为，有自旋粒子在引力场中的运动由所谓的“马西森-帕帕佩特鲁-狄克逊方程”（Mathisson-Papapetrou-Dixone quation）所描述，而这一方程显含曲率张量。因此，有自旋粒子在引力场中的运动会与曲率相耦合。由此得出的一个推论则是，通过观测有自旋粒子的运动，原则上能在局域参照系中区分引力场与加速场[1]。
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从某种意义上讲，这意味着等效原理不再成立了。
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但是，这并不意味着广义相对论失效。对于广义相对论来说，等效原理的作用主要是确立时空的赝黎曼（pseudo-Riemannian）结构。为此只要在每一点上存在局域参照系，使度规为闵科夫斯基度规（Minkowski metric），同时使得联络系数全部为零即可（如果把这作为等效原理的定义，则等效原理的成立将不受上面提到的效应所影响）。至于是否有物理效应与曲率相耦合，并不妨碍广义相对论的建立。有自旋粒子的经典运动在广义相对论的框架中是完全可以处理的，就像时钟佯谬在狭义相对论的框架中完全可以处理一样。
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 二、爱因斯坦-嘉当理论
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刚才我们提到，有自旋粒子在引力场中的运动会与曲率相耦合，从而能用来局域地区分引力场与加速场。这一讨论只涵盖了与引力有关的有自旋粒子问题的一半——即有自旋粒子在给定的引力场中会如何运动。现在，我们来考虑问题的另一半，即有自旋粒子本身会产生什么样的引力场。这是一个性质很不相同的问题，因为有自旋粒子在给定的引力场中的运动——如前所述——不会对广义相对论的结构产生根本性的影响，而有自旋粒子本身产生的引力场，则——如我们即将看到的——虽非必然，却很有可能把我们引向不同于广义相对论的理论，比如爱因斯坦-嘉当（Einstein-Cartan）理论。
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