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为什么会有这样的结果呢？我们来简单地证明一下：
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假定一个物理体系的拉氏量中的势函数为，其中为标量场（可以是基本的也可以是复合的）。显然，该体系的真空态满足（为避免符号繁复，我们略去了对真空的标记），而标量粒子的质量（平方）由在真空态上的本征值给出。现在考虑对真空态作一个无穷小连续对称变换（其中ε为无穷小参数）。由于在这一变换下不变（请读者想一想这是为什么），因此有（对相同指标求和，下同）。将这一表达式对作一次导数，并注意到真空所满足的条件，可得（请读者自行证明）：
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由上式可以看到，每一个的连续对称变换都对应于的一个本征值为零的本征态，从而也就对应于一个无质量标量粒子。而另一方面，的连续对称变换所对应的正是那些不能使真空态不变——从而被真空态所破缺（即自发破缺）——的连续对称性。这就证明了每一个自发破缺的整体连续对称性都必然伴随一个无质量标量粒子，即戈德斯通粒子。这正是戈德斯通定理。[16]（请读者思考一下，戈德斯通定理中的“整体”二字体现在证明的什么地方？）由于自发破缺的整体连续对称性的数目等于这些对称性的生成元的数目，因此戈德斯通定理也表明了戈德斯通粒子的数目等于自发破缺的整体连续对称性生成元的数目。举个例子来说，SU（2）对称性具有三个生成元，若完全破缺，就会产生三个戈德斯通粒子；若破缺为U（1），则只产生两个戈德斯通粒子（因为有一个生成元未破缺）。进一步的分析还表明，戈德斯通粒子与那些自发破缺的整体连续对称性所对应的荷——关于荷，请读者回忆一下诺特定理（Noether theorem）——具有相同的宇称及内禀量子数。
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当然，严格讲，上面的证明只是在所谓经典层次上的证明，而没有考虑量子修正。那么考虑了量子修正后，戈德斯通定理是否仍成立呢？答案是肯定的，而且证明也基本一样，只需用包含量子修正的所谓量子有效势Veff取代经典拉氏量中的势函数V即可[17]。
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由戈德斯通等人证明的这一结果为什么会对把近似对称性归因于对称性自发破缺的想法造成致命打击呢？原因很简单，那就是近似对称性中的某一些——比如同位旋对称性——正是整体连续对称性，如果它们的近似性果真源自对称性自发破缺，那就应该存在相应的无质量标量粒子。但我们从未在实验上观测到任何这样的粒子。因此对称性自发破缺的想法在粒子物理学中由于牵涉到无质量粒子而陷入了困境。
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 八、从希格斯机制到电弱统一理论
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无独有偶，粒子物理学中产生于20世纪五六十年代的另一个很高明的想法也受到了无质量粒子的困扰，那个想法是1954年由杨振宁（1922—）和米尔斯（Robert Mills, 1927—1999年）提出的，现在被称为杨-米尔斯理论（Yang-Mills theory）。这是一种所谓的定域“非阿贝尔规范理论”（non-Abelian gauge theory），是对像量子电动力学那样的定域“阿贝尔规范理论”（Abelian gauge theory）的推广[18]，具体的区别是以非阿贝尔规范对称性取代了量子电动力学所具有的阿贝尔规范对称性——即U（1）规范对称性。提出这种理论最初的动机是企图用它来描述同位旋对称性。但这一企图立刻就遇到了一个很大的困难，那便是这种理论所具有的定域规范对称性会无可避免地导致无质量的矢量粒子（被称为规范粒子，类似于量子电动力学中的光子），而在现实中，除光子外我们从未在实验上观测到任何这样的粒子。
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就这样，杨-米尔斯理论与对称性自发破缺这两个出色的想法先后搁浅了，推根溯源，都是无质量粒子惹的祸。但如果我们仔细研究一下这对“难兄难弟”的病根，就会发现两者竟然像是互为解药！对称性自发破缺的问题出在哪里呢？出在整体连续对称性上；而杨-米尔斯理论的问题又出在哪里呢？出在定域规范对称性（那是一种特殊的定域连续对称性）上。如果我们把这两者放在一起，让对称性自发破缺干掉那些产生无质量矢量粒子的定域规范对称性，杨-米尔斯理论不就可以摆脱困境了吗？更妙的是，由于杨-米尔斯理论中的对称性不是整体而是定域的，戈德斯通定理将不适用于这种对称性的自发破缺，这样一来说不定那些可恶的戈德斯通粒子也会消失，那岂不是两全其美？世界上会有这么好的事吗？还真的有。
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最早明确指出这一点的是美国凝聚态物理学家安德森（Philip Warren Anderson, 1923—）。对于安德森来说，戈德斯通定理显然不可能是普遍成立的，因为当时的凝聚态物理学家们已经知道，超导体就是一个连续对称性——U（1）对称性——自发破缺的体系，但在这一破缺的过程中并没有产生无质量的戈德斯通粒子。安德森并且很正确地意识到了U（1）对称性的定域特点是使戈德斯通定理失效的关键。由于并非只有定域U（1）对称性具有定域特点，事实上所有杨-米尔斯理论也都具有这一特点。因此安德森在1963年猜测道：“戈德斯通的零质量困难并不是一个严重的困难，因为我们很可能可以用一个相应的杨-米尔斯零质量问题来消去它。”安德森的想法得到了一些物理学家的认同，但也有人认为这种凝聚态物理的类比不能应用到相对论量子场论中。
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这种怀疑很快就被推翻了。1964年，英国物理学家希格斯（Peter Higgs, 1929—）、比利时物理学家英格勒特（François Englert, 1932—）与布罗特（Robert Brout, 1928—）等几乎同时证实了安德森的想法。这便是描述规范对称性自发破缺的著名的希格斯机制（Higgs mechanism），它一方面消除了无质量的戈德斯通粒子，另一方面则使规范粒子获得了质量[19]。
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不过希格斯等人的漂亮工作并没有引起即刻的轰动。希格斯就这一工作所写的两篇短文中的第二篇甚至一度遭到了退稿，理由是“与物理世界没有明显关系”。这一退稿理由使希格斯深感不快，但也促使他更深入地考虑了理论可能引致的实验结果，并对论文进行了补充。希格斯后来认为，他因遭到退稿而补充的那些内容是人们将希格斯粒子及希格斯机制与他的名字联系在一起的主要原因。
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做了这么多背景介绍，现在让我们回到主题——质量的起源——上来。希格斯机制不仅一举“救活”了粒子物理学中对称性自发破缺与杨-米尔斯理论这两个极为出色的想法，而且在救助过程中为我们提供了一种产生质量的新方法，即通过规范对称性的自发破缺，从不带质量项的拉氏量中产生出质量来。不过，由此而获得质量的——如上文及注释所述——只是规范粒子，而规范粒子的质量在宇宙可见物质的质量中只占了微不足道的比例，我们更关心的是在可见物质质量中占主要比例的那些粒子——费米子。
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那么，费米子的情况如何呢？1967年，温伯格和萨拉姆将希格斯机制应用到美国物理学家格拉肖（Sheldon Lee Glashow, 1932—）等人几年前所提出的旨在描述电磁和弱相互作用的SU（2）×U（1）规范理论中，建立起了所谓的电弱统一理论（electroweak theory）[20]。这一理论与描述强相互作用的量子色动力学（quantum chromodynamics）一起组成了粒子物理的标准模型。在标准模型中，费米子也是通过规范对称性的自发破缺——或者更确切地说，通过电弱统一理论中的规范对称性自发破缺——获得质量的。具体地讲，在标准模型中，费米场与希格斯机制中的标量场（也称为希格斯场）之间存在所谓的汤川耦合（Yukawa coupling）：—λ（其中λ为耦合常数[21]。由于希格斯场具有非零的真空期待值，因此将这一耦合项相对于真空展开后就会出现形如－m的费米子质量项。