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[16]戈德斯通定理也可以从几何上来理解。可以看成是一个N维曲面，真空态对应于该曲面的一个极小值点，而该点处每一个独立的平坦方向（即二阶导数为零的方向）对应于一个无质量标量粒子。另一方面，每一个这种独立的平坦方向对应于一个可以使真空态移到邻近点的连续对称变换。这种连续对称变换所表示的正是被真空态所破缺的对称性。这就表明无质量标量粒子与这种自发破缺的对称性一一对应。另外再补充一点：南部阳一郎曾在1960年提出过类似于戈德斯通定理的想法，但未引起足够重视。
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[17]这里有一个很有意思的问题，那就是既然真正的对称性自发破缺是由量子有效势Veff而非经典势函数V所决定的，那么在经典势函数V不具有简并真空态（从而不会产生对称性自发破缺）的情况下，是否有可能通过体现在有效势Veff中的纯量子效应产生对称性自发破缺呢？答案是肯定的。如果哪位读者独立地想到了这个问题，那么祝贺你了，这说明你有非常敏锐的物理思维能力。如果你同时还具有第一流的理论基础，并且早生几十年的话，就有可能作出一个非常重大的理论发现，那便是1973年由美国物理学家科尔曼（Sidney Coleman, 1937—2007年）与温伯格（Erick Weinberg,1947—）所发现的如今被称为科尔曼-温伯格机制（Coleman-Weinberg mechanism）的对称性破缺机制。
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[18]一般来说，粒子物理学中的规范对称性指的就是“定域”规范对称性。不过在本节中，为突出“定域”所起的作用，我们有时会特意注明。
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[19]用技术性的语言来说，在希格斯机制中对应于戈德斯通粒子的那些自由度可以被定域规范变换所消去（必须注意的是：“定域”二字在这里至关重要，整体的连续变换是不具有这种能力的）。从规范理论的角度讲，这相当于选取了一种被称为幺正规范（unitary gauge）的特殊规范。这种特殊规范的选取造成定域规范对称性的破缺，从而使原本受定域规范对称性所限必须无质量的规范粒子可以获得质量。人们有时把这种机制形象地描述为：规范粒子通过“吃掉”戈德斯通粒子而获得质量。另外要说明的是，这里所介绍的由希格斯等人提出的，被粒子物理标准模型所吸收的其实只是希格斯机制的一种最简单的实现形式——但似乎恰好就是自然界所采用的形式。
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[20]电弱统一理论中的规范对称性破缺方式是SU（2）×U（1）破缺为U（1），由此产生的三个戈德斯通粒子通过希格斯机制使四个规范粒子中的三个（即W±和Z）获得质量，剩下的一个（即光子）则维持了无质量。
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[21]更确切地讲，标准模型中的汤川耦合是形如—λ的项，其中为质量本征态（不同于弱本征态），L与R分别代表左右手征部分，h.c.代表厄密共轭。汤川耦合是费米子场与标量场之间唯一的可重整耦合。
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[22]Gell-Mann将这一模型称为八正道（eightfold way），这一名称取意于佛教术语，所代表的是SU（3）分类模型中的八维表象。
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[23]Ω-粒子于1964年被发现，它不仅量子数与理论预言完全一致，质量也非常接近理论的预期。
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[24]当时盖尔曼是加州理工大学（California Institute of Technology）的教授，茨威格则是该校的研究生，他们虽在同一学校，但提出夸克模型是彼此独立的。夸克这一名称是盖尔曼所取，来自于爱尔兰作家乔伊斯（James Joyce, 1882—1941年）的小说《芬尼根的守灵夜》（Finnegans Wake）；茨威格提议的名字也很幽默，是“Aces”——即扑克牌中的“爱斯”。对茨威格来说，十分苦涩的经历是：同样标新立异的理论，Gell-Mann的文章应杂志编辑的亲自邀请发表在了欧洲核子中心（CERN）的新杂志《物理快报》（Physics Letters）上，而人微言轻的茨威格的文章却遭到拒稿而未能及时发表。茨威格后来转行离开了物理。
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[25]这一点也适用于胶子或任何不处于色单态的粒子组合。不过要注意的是，它的严格数学证明是极其困难的。事实上，它是美国克莱数学研究所（Clay Mathematics Institute）悬赏百万美元征解的七大数学难题之一的“杨-米尔斯与质量隙”（Yang-Mills and Mass Gap）问题的一部分。不过许多物理学家对从数学上严格证明这一点并无太大兴趣，温伯格就曾经表示：“这一点肯定是正确的，因此我和其他一些人一样很乐意把证明留给数学家去做。”
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[26]波利策等人因此而获得了2004年的诺贝尔物理学奖。比他们稍早，荷兰物理学家特·胡夫特也有过同样的发现，可惜没有发表。
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[27]补充说明两点：（1）定义夸克质量所用的重整化方案（renormalization scheme）是。（2）夸克的“轻”和“重”是相对于量子色动力学中的特征能标ΛQCD（约为200～300MeV）来区分的。
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[28]有读者可能会问：既然有U（V）V，是不是也有U（1）A？在经典层次上答案是肯定的，但是在量子世界里，U（1）A会被反常（anomaly）所破坏。
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[29]感兴趣的读者请利用场量的宇称变换性质自行证明与的变换性质与。另外要注意的是，这里所说的矢量、轴矢量、标量、赝标量都是依据时空变换性质区分的，与那些量在SU（2）内禀空间内的变换性质无关。
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[30]由于s夸克也是轻夸克，因此我们的讨论可以扩展至包括s夸克，这是强子分类中存在SU（3）近似对称性的原因——请注意这个SU（3）是“味”对称性而不是“色”对称性。不过由于s夸克的质量较大，SU（3）对称性的近似程度远不如SU（2）对称性来得高。
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[31]在强子的命名中，有些带有质量参数，ρ（770）与a1（1260）就是两个例子。细心的读者可能要问：既然如此，这两个介子的质量怎么会是775MeV和1230MeV，而非770MeV和1260MeV呢？我把这个问题留给读者自己去思考。
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[32]虽然从实验上观测到的强子谱来看，量子色动力学中的SU（2）V×SU（2）A×U（1）V对称性几乎肯定是破缺成了SU（2）V×U（1）V（即手征对称性被破缺了），但这并不意味着量子色动力学的真空一定能够实现这一破缺方式。相反，能否实现这一破缺方式在很大程度上可以视为是对量子色动力学的检验。
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[33]π介子的质量远小于其他强子的质量，这一点很早就引起了人们的注意。为了解释这一现象，早在量子色动力学出现之前的1960年，南部阳一郎就提出可能存在一种极限情形（相当于后来的手征极限），在其中π介子是对称性自发破缺所产生的无质量粒子。中国物理学家周光召（1929—）也于1961年提出过类似的想法。
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[34]不同的文献对Fπ有不同的定义，彼此相差一个常数因子2或
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[35]这一结果在定性上是可以预期的，因为它大致等于量子色动力学中除夸克质量外的唯一能标ΛQCD的三次方。感兴趣的读者可以（定性地）思考这样一个问题：在不考虑夸克质量的情况下，量子色动力学拉氏量中唯一的参数是无量纲的耦合常数，那么像ΛQCD这样的能标是从何而来的？