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mdv=—udm
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对上式积分并注意到火箭的初速度为零，便可得到
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v=uln（mi/mf）
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其中mi与mf分别为火箭的初始质量及推进过程完成后的质量（显然mi>mf）。这一公式被称为齐奥尔科夫斯基公式（Tsiolkovsky formula），它是由上文提到过的俄国科学家齐奥尔科夫斯基发现的，时间是1897年，那时候的天空还是人类的“禁地”，连飞机都还没有上天[10]。齐奥尔科夫斯基因为在航天领域的一系列卓越的开创性工作，而被许多人尊称为“航天之父”（father of astronautics）或“火箭之父”（father of rocketry）。
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从齐奥尔科夫斯基公式中我们可以看到，火箭所能达到的速度可以远远地高于喷射物的喷射速度。这一点是很重要的，因为这意味着我们可以通过一种较低的喷射速度来达到航天器所需要的高速度，这在技术上远比直接达到高速度容易得多。从某种意义上讲，凡尔纳的超级大炮之所以没能成为一种载人航天器的发射装置，正是因为它试图直接达到航天器所需要的高速度。
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但是火箭虽然能够达到远比喷射物喷射速度更高的速度，为此而付出的代价却也不小，因为火箭所要达到的速度越高，它的有效载荷就必须越小。这一点从齐奥尔科夫斯基公式中可以很容易地看到。我们可以把公式改写为mf=miexp（－v/u），由此可见，火箭的飞行速度v越高，它的有效载荷（mf中的一部分）也就越小。假如我们想用u=1千米/秒的喷射速度来达到第一宇宙速度（即将有效载荷送入近地轨道），则mf/mi≈0.000 37，也就是说一枚发射质量为1 000吨的火箭只能让几百千克的有效载荷达到第一宇宙速度，这样的效率显然是太低下了。
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为了克服这一困难，齐奥尔科夫斯基提出了多级火箭的设想。多级火箭的好处是在每一级火箭的燃料用尽后可以把该级火箭的外壳抛弃掉，从而减轻下一级火箭所负载的质量。在理论上，火箭的级数越多，运载效率就越高，不过在实际上，超过三级的火箭其技术复杂性的增加超过了运载效率上的优势，使用起来得不偿失。因此，目前我们使用的火箭大都是三级火箭。即便使用多级火箭，航天飞行的消耗依然是惊人的，通常一枚发射质量为几百吨的火箭只能将几吨的有效载荷送入近地轨道，比如发射“神舟号”飞船的长征二号F型火箭发射质量约为480吨，近地轨道的有效载荷约为8吨。
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 四、接近光速
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前面说过，这个星际旅行系列主要是为了讨论未来的星际旅行技术而写的，因此，在这里我们也要把目光放远些，看看上节讨论的火箭动力学在火箭速度持续提高，乃至接近光速时会如何。截至2013年7月，人类发射的航天器中飞得最远的是1977年9月5日发射的“旅行者一号”（Voyager 1）。经过近36年的漫长飞行，它已经飞到了离太阳约187亿千米处，远远超出了太阳系已知最外围的行星——海王星，或曾经最外围的行星——冥王星——的轨道。但是，这个距离跟离太阳最近的恒星——半人马座比邻星（Proxima Centauri）——的距离相比，还不到万分之五。由此可见，人类要想走得更远，必须要有更快的航天器。在齐奥尔科夫斯基公式中火箭的速度是没有上限的，通过提高喷射物的喷射速度，通过增加火箭质量中喷射物所占的比例，火箭在原则上可以达到任意高的速度。但是，这一点显然是错误的，因为物体的运动速度不可能超过光速，这是相对论的要求[11]。这表明，当火箭的运动速度接近光速时，齐奥尔科夫斯基公式将不再成立。那么，有没有一个比齐奥尔科夫斯基公式更普遍的公式，在火箭运动速度接近光速时仍成立呢？这就是本节所要讨论的问题。
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首先，简单的答案是：这样的公式是存在的。事实上，这样的公式不仅存在，而且并不复杂，因此我们干脆在这里把它推导出来，以满足大家的好奇心。这一推导所依据的基本原理仍然是动量守恒定律，我们也仍然在火箭参照系中计算火箭速度的增量。这里要补充说明的是，所谓火箭参照系，指的是所考虑的瞬间与火箭具有同样运动速度的惯性参照系（因此在不同的时刻，火箭参照系是不同的）。我们用带撇的符号表示火箭参照系中的物理量（这是讨论相对论问题的惯例）。与上节的讨论相仿，假设火箭在单位时间内喷射的物质质量为—dm’/dt’（m’为火箭质量，dm’/dt’<0），喷射物相对于火箭的速度大小为u（方向与火箭飞行方向相反），则在时间间隔dt’内，火箭的速度会因为喷射而得到一个增量dv’。依据动量守恒定律，在火箭参照系中可以得到
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m’dv’=—udm’
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这里dm’为喷射物的相对论质量（运动质量），这一公式对于u接近甚至等于光速的情形也成立[12]。在非相对论的情形下，上面所有带撇的物理量都等于静止参照系（地心参照系）中的物理量，因此对上述公式可以直接积分，这种积分的含义是对上式中的速度增量进行累加。但在相对论中，速度合成的规律是非线性的，把这些在不同时刻——因而在不同参照系中——的速度增量直接累加是没有意义的，因此上述速度增量必须先换算到静止参照系中才能积分。
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运用相对论的速度合成公式，dv’所对应的静止系中的速度增量为
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将这一结果与在火箭参照系中所得的关于dv’的公式联立可得
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对这一公式积分，并进行简单处理，便可得到
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其中火箭的初始质量mi与推进过程完成后的质量mf都是在火箭参照系中测量的。这就是齐奥尔科夫斯基公式在相对论条件下的推广。对于低速运动的火箭，（u/c）ln（mi/mf）<
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上述公式的一个特例是u=c的情形，即喷射物为光子（或其他无质量粒子）的情形。这种火箭常常出现在科幻小说中，通常是以物质与反物质的湮灭作为动力来源。对于这种情形，上述公式简化为：。如果将火箭90%的质量转化为能量作为动力，火箭的飞行速度可以达到光速的99%。
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