1707620060
1707620061
1896年9月，爱因斯坦进入瑞士苏黎世联邦理工学院攻读物理学。而就在同年春天，闵科夫斯基接受了好友邀请，告别了第二故乡哥尼斯堡，也投奔至这家著名的高等学府，在基础数学系里担任副教授，并在爱因斯坦入学后成为了其本科阶段的指导老师。
1707620062
1707620063
不过令人大跌眼镜的是：虽然爱因斯坦对这位数学巨匠一直印象颇佳，并且在多年后依然夸赞昔日恩师为“出类拔萃的教师”，闵科夫斯基却给了爱因斯坦的学生时代以极差的评价，称其为“喜爱旷课、一贯不完成作业、从来也不为数学操心的懒狗”。因此当他得知爱因斯坦于1905年发表了惊世骇俗的《论运动物体的电动力学》（即狭义相对论）之后，这位数学家甚至在同事面前大声惊呼道：这个懒家伙？怎么可能？
1707620064
1707620065
然而闵科夫斯基毕竟是一位有着高度专业素养的科学家。他立刻就跳入了用数学语言谱写相对论的时代浪潮。就在两年以后的1907年，闵科夫斯基结合爱因斯坦于狭义相对论中所使用的洛仑兹变换，创造了引入第四维度的全新非欧几何概念——“闵科夫斯基空间”。正是这一概念为1915年夏天爱因斯坦那趟为期六天的哥廷根之旅画上了完美的一笔。
1707620066
1707620067
事实上早在1907年，刚刚推演出四维空间的闵科夫斯基就曾经致信给爱因斯坦，提到了自己的最新研究进展。可惜当时爱因斯坦意气风发，正沉浸于狭义相对论的伟大成就，根本没有领会这项成果的积极一面及其所隐含的划时代意义。直到1915年的哥廷根，爱因斯坦才意识到原来这就是自己长期以来苦心寻找的终极定理。
1707620068
1707620069
1915年11月6号，爱因斯坦终于成功地在闵科夫斯基空间的几何学基础上建立了完整的广义相对论体系。11日至25日，爱因斯坦更是连续向普鲁士科学院提交了四篇有关广义相对论的经典论文。从前根本没能读懂新思想的物理学家们就此多了一件相对较为简单的数学工具用于理解和计算他们依旧没能真正搞清楚的“四维空间引力”。
1707620070
1707620071
客观而言，人类的想像力其实并不足以正确理解超越三维的事物；而只能凭借被高度数学化的公式前去“探知”和“运用”那些存在于多维空间里的客观物质。数学的发展使人类相信自己的理性水平不断超越前进，以至于不少科学家——尤其是数学家和物理学家——认为只要通过一系列纯粹数学推演，就能够理解宇宙的奥义。
1707620072
1707620073
1707620074
1707620075
1707620076
失落的奥义：揭开人类世界核心机密的真相 [:1707617939]
1707620077
失落的奥义：揭开人类世界核心机密的真相 3．哥德尔：真实≠可证明
1707620078
1707620079
1707620080
1707620081
1707620082
⊙爱因斯坦将第一届“阿尔伯特·爱因斯坦奖章”授予哥德尔（右二）和施温格（1951）
1707620083
1707620084
数学家相信数学就是一切。如果确实存在一种方法能够彻底理解世界，那么这种方法就是数学：通过最严谨、完整的数学推导，人类就可以掌握宇宙以及自身所隐藏的奥秘。在顶尖数学家中，大卫·希尔伯特对于这一思想表现得最为执著。他在个人代表作《几何基础》（Grundlagen der Geometrie）中便详尽讨论了建立在一组简单公理上的元数学推演。希尔伯特坚信世界上一切客观规律都可以从最为基本的数学真理，例如“勾股定理”出发，经过一连串严谨且无矛盾的数学逻辑推理而获得，仿佛欧几里得在《几何原本》中施展的魔法一样。数学之美就建立在从看似简单的条件能够推导出无限而复杂的结论。数学家的情感源于这种美。1900年8月8日，第二届国际数学家联合会在巴黎召开。希尔伯特应邀致开幕词。他慷慨激昂地呼唤着数学家们昂起斗志：
1707620085
1707620086
在我们中间，时常响起这样的声音：这里有一个数学问题，快去找出它的答案！你一定能通过纯粹思维找到它——因为在数学中没有什么不可知！
1707620087
1707620088
二十年后，希尔伯特亲手推动了历史上著名的“希尔伯特计划”。他旨在将整个宇宙的所有客观规律一网打尽。从恐龙灭绝到女人生孩子，数学家期待任何事物都可以通过基于简单公理的无矛盾推演，最终达成完美的和谐统一。
1707620089
1707620090
然而，最美妙的梦总是惊醒得最快。计划正式推出仅三年之后，即1931年，一位初出茅庐的奥地利数学博士就以一篇无懈可击的论文彻底摧毁了野心勃勃的“希尔伯特计划”。这名青年就是人类历史上最富有影响力的逻辑学家——库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）。
1707620091
1707620092
1906年4月28日，哥德尔出生于奥匈帝国摩拉维亚州（Moravia）首府布尔诺（Brno）（今属捷克境内）。由于性格内向，不善与人交流，哥德尔从小就选择了极端封闭而抽象的数学世界作为心灵的隐居所。18岁时，他跟随兄长鲁道夫·哥德尔（Rudolf Gödel）入读维也纳大学，主修数学哲学以及理论物理。1929年底，年仅23岁的库尔特·哥德尔就凭借一篇追随“希尔伯特计划”的优秀学术论文《逻辑谓语动词之演算公理的完备性》（Über die Vollständigkeit des Logikkalküls）获得了维也纳大学数学博士学位。
1707620093
1707620094
然而追随“希尔伯特计划”的同时，哥德尔却越发感受到纯粹的理性或许不可能实现。于是他转换了数学家一贯的乐观情绪，改用一种悲观却深具洞察力的批判性思路，走向了“希尔伯特计划”的反面。大约一年后，哥德尔冷冷地向全身心投入“希尔伯特计划”的数学世界宣布了自己的结论，发表了一篇堪称“毁灭性”的学术论文《数学原理及其相关系统中的形式不可判定之命题》（Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und Verwandter Systeme）。在这篇经典论文中，哥德尔提出了震惊数学界的“不完备性定理”（Gödel’s Incompleteness Theorem）：
1707620095
1707620096
任何连续公理体系，只要其中包含初等数论之表达，则必然会存在着至少一个命题，不可以在这组公理体系内部经过有限次逻辑推导而证明。尤其是对连续推演之算术体系，体系内部一定含有至少一个算术表达为真，却永远不能在该体系中被有效证明。而同时，若该体系所有算术表达都可以被证明为真，则体系内部又不能够证明其连续性。即任何的公理体系不可能同时具备连续性和完备性。
1707620097
1707620098
如果一个公理系统是连续的，则该体系一定不完备；
1707620099
1707620100
（If the system is consistent, it cannot be complete）；
1707620101
1707620102
而完备的公理体系其连续性又不能够在该体系当中被予以有效证明。
1707620103
1707620104
（The consistency of the axioms cannot be proven within the system.）
1707620105
1707620106
这段话什么意思呢？翻译成普通人能理解的通俗语言大概是这样：一个有规律的体系，比如说浩瀚苍茫的宇宙，只要你用数字去计算和分析它，就一定有某些事物虽然真实存在，你却永远无法给出证明（特别注释：此“通俗解释”难免会引得部分专业数学家指摘，但是，考虑到纯粹数学的语言不可能用于推广哥德尔伟大的哲学思想，遂唯有勉强通俗之。另外，如果指责仅针对“只要你用数字去计算和分析它”这句话，请参考以下思路：根据黎曼假设——如果黎曼假设最终被证明成立的话，任何自然数的使用都应该被广义地看作涉及数论描述，因为自然数的存在模式是且仅是为了有规律地分布素数。切记：数学其实是种美学）！
1707620107
1707620108
这条结论可谓晴天霹雳！它意味着全世界的数学家过去十年都白忙了。因此哥德尔的这项数学发现刚刚问世之时，几乎所有顶尖数学家都试图寻找出其中错误。不过人们越是深入研究，就越是发现此人的论证天衣无缝。以至于当人类文明探出21世纪的窗口，重新回顾那一段历史的时候，都会无不感叹地摇一摇头：过去数十年当中，逻辑学竟不曾超越它向前再迈出哪怕一步！最重要的数学分支被哥德尔凭一己之力完成！
1707620109