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超越战争论：战争与和平的数学原理 第四节 不同战争成就的价值分析
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1.军事类成就
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不同的战争成就，对于我方来说具有的价值和意义是非常不同的。
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从军事角度来说，传统军事家们所最为夸耀的，是短期胜利成就，尤其是战斗成就，当然也包括长期胜利成就。战斗成就的确最明显地体现了军人直接的作用，也是评价他们战功的最重要指标。但是，如果我们抛开军事价值本身来看，尤其从战争结束之后回过头再来看，战斗成就的价值很快就变得完全模糊了：
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战争中的敌方死亡或负伤了若干士兵，对于我们的价值到底何在？会使我们增加什么？似乎什么也没增加。
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敌方被摧毁了100架飞机，意味着我们可以得到100架飞机吗？显然不是。
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那么，在战争中往往最为人们称颂的战斗成就，其真正价值到底在哪里呢？
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对于敌方来说消失了的人或物，对于我方来说同样是消失了，我们并不能因敌方这些资源的消失而得到它们分毫。并且，那些消失了的士兵如果不是因为战争，很可能与我们毫不相干，也可能在和平状态下成为我们的顾客、伙伴、朋友，甚至通婚的对象。
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因此，战斗成就的价值仅为军事上的意义：减少敌方对我方的战斗成就，即减少我方的战斗成本。
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2.交换比分析与交换比定理
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当我们进行不同战争成本和战争成就的数学分析时，会具有不同的意义和价值。作为传统军事研究来说，往往最关注的是战斗成本和战斗成就。如果只将这两者相比较，可以获得军事战术手段的投入产出分析。两者比值常被称为“交换比”。例如在空战中，我方战损飞机数量就属于“战斗成本”，敌方战损飞机数量属于“战斗成就”，两者之比就是空战的交换比。例如，在某空战中，我方以战损3架飞机，使得敌方的飞机战损达到30架，敌我双方飞机战损的“数量交换比”就是：
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战斗成就：战斗成本=30∶3=10∶1。
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如果将损失的飞机以及飞行员的经济价值折算进去进行计算，那么以上交换比可能会发生变化。如果我方损失的飞机是5000万美元1架，而敌方损失的飞机是1亿美元一架，我方飞行员经济价值是200万美元1名，敌方飞行员是500万美元1名。战斗中消耗的炮弹、油料总计为我方500万美元，敌方为900万美元。并且假设每损失一架飞机，伴随损失0.5名飞行员。以上空战从经济角度评价的“价值交换比”就是：
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（30×10000+30×0.5×500+900）∶（3×5000+3×0.5×200+500）
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=19.52∶1
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由此可见，由于经济价值的不同，10∶1的飞机数量交换比，变成经济角度19.52∶1的价值交换比。基本上扩大了1倍。当然，从中也可看到，主要是最大权重的飞机经济价值决定了交换比的最终经济价值。
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这个交换比分析常用来评价武器的军事能力，或军队的战斗能力。
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作为任何一种投资行为，一个理性的考虑就是以尽可能少的投入，获得尽可能大的产出。因此，交换比也就是从军事能力角度来说的投入产出比。如果能以导弹等空战武器更多投入，换取空战交换比的提升，无论从数量的交换还是以经济价值的交换比提升来说，都是非常划算的。
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如果从每一个作战阶段来看，仅统计在该阶段双方战损的交换比与之前双方存量之比的关系，即可以判断双方作战的走向。可以很容易证明：
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当不考虑恢复量前提下。设在时序i时，R，B双方作战单位数量分别为Pi，Qi，并设Ni=Pi/Qi，Ni+1=Pi+1/Qi+1；双方在第i个时序战损分别为Li=Pi-Pi+1，Gi=Qi-Qi+1。交换比为Mi=Li/Gi。若从第i个时序起，以及此后所有时序的作战中，双方击毁效率都保持不变，那么有：
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（1）如果Mi＞Ni，则有Ni+1＜Ni。根据存量比定理，B方获得胜利；
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（2）如果Mi=Ni，则有Ni+1=Ni。根据存量比定理，双方战成平局；
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（3）如果Mi＜Ni，则有Ni+1＞Ni。根据存量比定理，B方获得胜利。
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以上规律可称为“交换比定理”。
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先证明（1）：
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