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18.2.1 阴云下的大西洋
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在当时，对战略资源匮乏的大不列颠岛来说，几乎面临着灭顶之灾。岛上的绝大多数战略资源，例如汽油、武器、飞机、粮食、被服等，都严重依赖一条战争补给线艰难地维持，这就是北大西洋航线——唯一的生命线。这条生命线的一端是美国和加拿大的东海岸，另一端是大不列颠岛的西海岸，每天有大量商船来往，为饱受创伤的英国输送“血液”。但是，这条“血管”被德军盯上了。
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德军为了切断英军的“大动脉”也下了不少功夫。德军使用最为得心应手的就是被誉为“狼群”的U型潜艇群（如图18-25所示）。客观地说，U型潜艇算不上当时世界上性能最为先进的战术潜艇，但由于它出没较为隐蔽，并且在发现“猎物”以后能够快速集合作战，尤其是它狙击的目标是没有反潜能力的商船，所以让盟军的商船船队吃尽了苦头（如图18-26所示）。
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图18-25 U型潜艇 图18-26 被U型潜艇的鱼雷击沉的盟军商船 1939年9月3日，也就是英国对德国宣战的数小时后，德国的U30潜艇就击沉了一艘名为“雅典娜号”的1.35万吨的客轮，客轮上有1103名平民，其中包括为了逃避战乱从英国逃往美国的美国人。
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1940年6月，U型潜艇击沉英国商船及护航舰艇58艘，共计28.4万吨。同年7月到10月，U型潜艇共击沉205艘英国舰船，共计108.9万吨。
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1941年，德国共击沉盟国船只432艘，共计217万吨。
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1942年，仅当年最后3个月，德国共击沉168万吨的盟国商船。1942年全年，盟国船只被击沉1160艘，总吨位达626.6万吨，超过了当时英美建造新舰的总吨位数。
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18.2.2 护航船队的救星
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威廉·肖克利(14)（如图18-27所示）于1956年发明了晶体管，并获得诺贝尔奖。肖克利是一位著名的物理学家。20世纪40年代，年轻的肖克利加入了一个由英国及美国科学家组成的团队，在战争史中开创了使用数据引导战争并颠覆战争进程的先河。
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这段渐渐隐去的插曲记录在Stephen Budiansky的Blackett’s War一书中。这本书讲述了一个由厌战的数学家、物理学家组成的小团体，通过专心的审查，对数据进行收集和整理，并对汇总的信息进行分析，最终说服盟军海军和空军领导人放下了他们教条的、根深蒂固的偏见，并改变了他们的战斗方式（标志着运筹学的诞生）的故事。
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图18-27 威廉·肖克利 图18-28 Stephen Budiansky和 Blackett’s War “闪电战”开始时，英国的情报工作控制在类拉丁文和希腊文科目上取得杰出成绩人的手中。然而，这些简单的计数显然不需要具备高等数学和概率论知识，第一次需要它们出场的情况是为英国上空出现的空袭给出相应的对策。由出生于剑桥的科学家Patrick Blackett带队，一群来自英国的科学家匆忙组成团队去协助情报工作。
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在“不列颠之战”期间，该团队为海岸司令部工作。在那里，他们主要把原始雷达系统收集的数据与实际战争结合起来，设法减少击落一架德军轰炸机所需要的炮弹数量——大约从20000发降至4000发。
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Blackett的小组及科学家们对在“不列颠之战”中取得重大胜利的措施进行修改，在提供建议之前，他们梳理了操作记录并陪同参加任务，旨在发现有益的模式并收集宝贵的数据。同时，他们参与了德军通信密码的破译——使用最早的IBM和NCR punch-card计算机进行辅助，而对手则是恩尼格玛密码机。从这些混乱的数据中，Blackett的小组分析出了至关重要的信息，例如在遭遇德国潜水艇后攻击机需要的挂载时间（15秒）、深水炸弹的最佳设置（25英尺）及最佳的爆破模式等。
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战争结束3年后，Patrick Blackett被授予诺贝尔物理学奖。
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至于前面提到的大西洋护航问题，当时海军与空军的将领们在很长一段时间内都拒绝改变他们的信条，他们认为小编制比大编制更安全（尽管有铁证证明这是错误的）。Blackett证明了在一个15～24艘舰船混编的舰队中，每艘船有2.3％的概率被击沉；而在舰队中的船只数量大于45艘时，每艘船被击沉的概率只有1.1％。
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这里有一个前提性的假设，那就是每一枚鱼雷击中盟军舰船的概率为p，每一艘潜艇的载弹量为q，这两个值都是有限的。U型潜艇没有装配雷达（二战时期，只有1942年以后才有部分美国潜艇装配雷达，用于在海面航行时观察远处的舰船目标），也就是说，U型潜艇对附近目标的观测几乎只能靠舰长探出头用望远镜去看，这种观测方式在极为晴好的天气状况下能看到30千米以外的舰船，但一般情况下只有10多千米的视野。
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从美国东海岸的纽约到英国伦敦的直线距离大约是6000千米，到英国西海岸的各个港口城市的直线距离也在5500到6000千米，而航线通常不是完全笔直的，所以实际的航行距离要比这个数字大一些。这个航线在南北宽度上的分布可能超过500千米。
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在U型潜艇的有效观测距离为10千米的情况下（也就是一个半径为10千米的圆形），6000千米的直线长度需要至少300艘U型潜艇才能全面覆盖；而如果按照500千米的航线可能宽度来计算，需要25艘U型潜艇才能完全覆盖。这样算下来，对整个北大西洋航线，需要7000艘U型潜艇才能把所有的盟军船只抓个“干净”。第二次世界大战中，德国共建造U型潜艇1131艘，加上战前建造的57艘，共1188艘。此外，潜艇要在海洋中游弋来捕捉战机，遭遇了就打，打不过就跑，遇到没油、没弹药的情况也要回港补充。所以，这种排布方式只能用来计算数量的上限，没有实战意义。
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被派出的德国U型潜艇在北大西洋中四处游弋，而北大西洋中来往运输的商船平均每天有1500多艘。一艘潜艇要想在这样一个环境中逮到盟军的商船，就好像在一个宽阔的游泳池水面上放一些乒乓球，然后让人闭着眼睛在里面仅凭双手去摸一样。在这种人和球的数量都非常有限的情况下，显然参与摸球的人越多，球被摸到的概率就越大。
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起初的护航舰队都是小规模的，甚至是单艘商船从美国东海岸出发前往英国。在任何一刻，如果我们能做一张快照，一艘舰船就相当于游泳池水面上漂浮着的一个乒乓球，而北大西洋就相当于这个游泳池。如果把多个乒乓球捆在一起放在游泳池里，因为球的分布更为集中，人在这一空间里与球相遇的概率变小了，寻找的难度就会增大。也就是说，当船只数量一定的时候，组织规模较大的护航编队肯定比规模较小的护航编队更难被U型潜艇遇上。
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还有一个问题，就是在潜艇搭载的鱼雷命中率为p且载弹量为q的时候损失有多大，这也是那些海军高级将领在战争之初所担心的事情——他们总担心大规模的护航编队在被敌人发现后被“团灭”。
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大部分U型潜艇的鱼雷搭载量为14～22枚(15)。我们假设U型潜艇在遭遇护航编队后连续射击，且每发鱼雷的命中率都为p，接下来就是一个利用伯努利分布的特性求解概率的问题了。
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