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天才与算法：人脑与AI的数学思维 第9章 数学的艺术
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亨利·庞加莱（Henri Poincaré）
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灵光乍现，从来都是厚积薄发。
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我13岁时萌生了成为数学家的想法，那时的数学老师向我推荐了几本书。在那个时候，我真的不知道成为一名数学家意味着什么，但他向我推荐的一本书给了我答案：数学不仅仅是计算的事。剑桥数学家哈代（G.H.Hardy）的《一个数学家的辩白》给我种下了成为一名数学家的种子。
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这本书是一个启示，哈代想要从中传达数学的含义是：
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数学家就像画家或诗人一样，都是形式的缔造者。如果说数学的形式比其他的更持久，那是因为数学的形式是由思想构成的。数学家的算式就像画家的画或诗人的诗，必须是美的。思想就如同色彩或是文字，必须以和谐的方式结合在一起。美是首要的，因为在数学的世界里，没有丑陋数学的容身之所。
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我从没有觉得数学是一门创造性的学科，但通过阅读哈代的书，我发现对于数学来说，美学的敏感性和思想的逻辑正确性一样重要。
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为什么我的老师会觉得我能成为一个数学家，而不是一个画家或是一个诗人呢？多年后，我这样问他，他答道：“在我观察到你很喜欢有创意的绘画时，我就知道你对抽象思维的反应是别人所不及的。”这是一次经过判断分析后完美的干预，使我对一门学科的渴望得到了满足。数学——创造性思维和逻辑绝对确定性的完美融合，正对我的胃口。
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多年来，我一直相信，数学的创造性使它不会被计算机自动化轻易替代。但现在，算法正在“再制”伦勃朗那样的肖像画，并在巴塞尔艺术博览会上展出与人类绘制的画作相媲美的艺术作品。算法可以很快地达成黎曼[1] （Riemann）的数学成就吗？或是和发表在《美国数学学会期刊》上的论文竞争吗？我是否应该开始找其他的工作了？
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哈代讨论数学就像玩游戏一样。他喜欢用下国际象棋来做比喻，但自从计算机下国际象棋赢了人类以后，我一直拿围棋当我的挡箭牌，好让那些想以电脑干活比我又快又多为理由开除我的人闭上嘴。数学有关直觉，即使我不确定为什么我有那种感觉，我也能感觉到该以怎样的逻辑去探索未知。但当DeepMind的算法发现怎样以非常相似的方式去做某些事的时候，它引发了一场“生存危机”。
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算法能玩数学家的娱乐项目——围棋，那它能证明定理吗？作为数学家，我最大的成就之一就是在《数学年刊》上发表了一个定理。安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）在这本期刊上发表了他对费马大定理的彻底证明。那么，要等多久我们才能在《数学年刊》上看到由算法撰写的论文呢？
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竞赛中，理解规则是很重要的。我应和计算机竞赛什么？肯定不会是让我坐在办公桌前做大量的计算。如果是那样的话，几年前计算机就该让我失业了。那么，数学家到底在做什么呢？
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[1] 1826—1866，德国著名数学家。黎曼的工作直接影响了19世纪中后叶数学的发展，在其影响下，数学许多分支取得了辉煌的成就。黎曼对偏微分方程及其在物理学中的应用有重大贡献。对物理学本身，如热学、电磁非超距作用和激波理论等，黎曼也做出了重要的贡献。黎曼首先提出用复变函数论研究数论的新思想和新方法，开创了解析数论的新时代，并对单复变函数论的发展有深刻的影响。他是世界数学史上最具独创精神的数学家之一，开创了黎曼几何，并且给后来爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。——译者注
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 数学证明的游戏
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如果你看到了一篇关于数学的新闻报道，它大概率是这样的内容：一位数学家“证明”了一些伟大而杰出的猜想。1995年，报纸上盈千累万的头条都是关于安德鲁·怀尔斯对费马大定理的彻底证明。2006年，特立独行的俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman）证明了数学中一个重要的未解决的问题——庞加莱猜想（Poincaréconjecture），这使他获得了赢得百万美元奖励的权利。还有6个“千禧年大奖难题”，它们向数学家发起了挑战：要想证明自己学科的猜想，即使有直觉也依然棘手。
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数学家工作的核心是证明。公理是关于数字和几何的不言自明的真理，证明就是从公理开始的逻辑论证。通过分析公理，我们可以重新组合出关于数字和几何确切的新的表达形式。然后，这些新发现可以构成新证明的基础，而新证明反过来又将引导我们发现公理的更多逻辑结果。数学的发展就像一个有生命的生物体，从先前存在的形式向外不断延伸开来。
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人们常把数学证明比作下国际象棋或围棋。公理是棋盘上棋子的起始位置，逻辑推理规则是决定棋子如何运动的参数，证明是棋子一步一步的运动轨迹。在下国际象棋时，每一步棋都可能有成千上万种可能。例如，开局四步棋之后（黑白各两步），在棋盘上，棋子的分布就已经有71 852种可能了。通常，你不需要走几步棋就能达到这样的效果。对于围棋来说，棋子分布可能性的数量更甚。
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如果我把棋子随机放在棋盘上，你可能会问，有没有可能从初始状态把棋一步一步走成这样？换句话说，随机摆在棋盘上的棋子位置，按照围棋或是国际象棋的规则是可能的吗？这类似于数学中的猜想，例如费马大定理。费马断言当整数n>2时，关于x、y、z的方程xn +yn =zn 没有正整数解。这本身就是一个猜想。数学家所面临的挑战是需要证明得到这样的结果是否符合数学本身的逻辑。费马就是这样把棋子摆在棋盘上，然后说：“我相信你一定能按照棋的规则，把棋一步步走成这样。哈哈哈哈！”安德鲁·怀尔斯和其他为证明费马大定理而努力工作的数学家，就这样确定了“棋子”一系列的移动，最后完成了费马大定理指定的排列方式。
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数学界的艺术之一就是找出这些猜想目标。许多数学家认为，提出正确的猜想比埋头苦算更重要。要发现暗藏在数字里的真相，需要对数学有异常灵敏的嗅觉。这往往就是数学家最具创造性和可以发挥高深莫测技能的地方。数学家只有一辈子都沉浸在数学的世界里，才可能获得关于数学猜想的灵敏嗅觉。这通常是一种不需要解释的直觉和预感，是所有人梦寐以求的东西。
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这就是计算机很难对猜想计算成功的原因之一。自上而下的算法像是一个醉汉在黑暗中跌跌撞撞：它有可能会随机地溜达到一个“有趣的地方”（奇异点），但大多数时候，它的行动没有重点、没有方向，毫无价值。但是，如果算法基于人类数学家的经验进行学习，这种自下而上的结构能否使算法发展出一种对奇异点的直觉呢？
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数学家们是如何建立起这样一种对奇异点的直觉的？这种直觉通常不是巧合——在你脑海里往往有众多案例支撑，或者说应该是存在某种模式的。但是，这种直觉往往稍纵即逝，所以证明出一个猜想是如此的难得和重要。有时，需要数年才能发现一种模式是错误的。我在自己的工作中对一个模式做了一个猜想，一个研究生花了十年的时间才证明了它是错误的。
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关于错误猜想，我最喜欢的一个例子是19世纪伟大的数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）对质数的猜想。高斯认为Li（x）–π（x）的值总是正的，而且是递增的。所有的证据都表明高斯是对的。如果让一台计算机来解决这个问题，它将产生支持高斯猜想的数据。然而，1914年李特尔伍德从理论上证明了事实正好相反（即存在Li（x）小于π（x））。高斯的猜想是错误的，但证明他错误的这个数字大得惊人（注：李特尔伍德的学生塞缪尔·斯克维斯（Samuel Skewes）首次证明，如果黎曼猜想成立的话，第一个李特尔伍德反例值一定小于这样一个数，我们称之为斯克维斯数，其表示成简单的科学计数法是：10100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 。——译者注），比宇宙中原子的数量还多（注：我们整个可观测宇宙的原子数不过是1080 。——译者注）（即便这样，我们也无法接近这个猜想的崩溃点）。
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这就是所有猜想所面临的问题：我们无法证明它们是真的，还是我们的直觉和现有的数据将我们引入了歧途。为了将那些未经证明的猜想与现已证明的定理联系起来，我们痴迷于尝试建立起一系列数学运算。
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