1700964239
概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 [:1700964146]
1700964240
第1节 量子力学的诞生
1700964241
1700964242
如量子力学创造者——德国物理学家马克斯·普朗克（Max Planck，1858—1947）所言，量子的诞生是“绝望时的孤注一掷”[2]。1900年前后，公共照明和私人照明由气体向电力过渡所带来的技术挑战，鼓舞着物理学家去探索一个灼热的物体是如何发光的。当一个热的物体发光时，如燃烧气体的火焰、发光灯泡的金属丝或者太阳会散发出不同颜色的光。1900年，光已被人熟知为某种波，尽管当时并不清楚是什么在动。光波如同水波和声波一样，由它们的振幅、波高以及频率来描述，而频率指的是记录者在一秒钟内记录的完整周期的数目，从一个波峰到下一个波峰出现的过程被称为一个完整的周期[3]。我们裸眼是看不到这些周期的，但我们知道的是不同颜色的光线频率是不一样的。红光对应着缓慢振荡，换言之就是低频，蓝光则表征着高频，即剧烈振荡（记住，为了回想起红色是否意味着慢或者快的振荡，要记得那些比彩虹光的振荡频率低的光被称为“红外”。相应英文前缀infra表示着红外的意思。比彩虹光频率高的光是紫外光，英文中一般用前缀ultra-，意味超出）。如同自然界常见的那样，在许多颜色光混合在一起的情况下，物理学家会问：光的强度和频率有什么关系？用通俗的话来说，就是在彩虹中，释放了多少红光，释放了多少黄光和蓝光，等等。
1700964243
1700964244
在普朗克所处的时代，实验家争相测量理想实验条件下光强和频率之间最精确的关系图。当把频率设为横坐标轴，能量密度或者亮度设为纵坐标轴时，这样的“辐射曲线”看起来像一座小山。释放出来最亮的光的颜色决定了山峰在哪里。举例来说，太阳光的辐射曲线的波峰就在光谱的黄色部分。如图1.1，记录下来的红外以及红光并没有释放出太多的能量。沿着更高频率方向过去，辐射曲线逐步上升，在黄色部分达到了最高值，随后因为光的强度在蓝光、紫光以及不可见的紫外光处逐步减弱而使曲线下降。
1700964245
1700964246
1700964247
1700964248
1700964249
频率图1.1
1700964250
1700964251
理论家争相从基本物理原理出发去解释辐射曲线。普朗克在这个问题上花费了数年时间，却只取得部分成功。在19世纪即将结束的几个月里，他尝试着采用统计的手段，而这正是他之前所鄙夷的。
1700964252
1700964253
山形曲线在概率论和统计领域是很常见的。举个例子，考虑多次掷一对骰子，并且画出你掷出2点、3点、4点一直到12点的次数。图1.2横轴代表掷的值（两个骰子点数之和）——从2到12，纵轴则代表着每个值出现的次数。可以肯定的是，你将最终得到一座小山，尽管并不是很完美对称的，但是在两端会很低，而在靠近中间逐步上升直至在中间的时候取得最大值，即在等于7的地方。关于这个形状的解释是基于如下思想，即实现给定的掷得点数方式的数目。只有一种方式获得2点（1，1），也只有一种方式获得12点（6，6）。
1700964254
1700964255
但是7点则能以不超过六种的方式获得：（1，6），（6，1），（2，5），（5，2），（3，4）和（4，3）。中间值3，4，5和6以及8，9，10和11也是一样，每个值获得的方式都少于6种。当各种组合都是平等出现的时候，获得方式最多的点数将会赢，因此图像中间的峰，即在7点处，就可以很合理地得到解释。
1700964256
1700964257
1700964258
1700964259
1700964260
图1.2
1700964261
1700964262
普朗克开始对辐射曲线做类似的事情。为此，他不得不把一个连续性问题转换成一个离散问题。骰子试验中横轴和纵轴都涉及数量，即两者都测量为简单整数。与此相反，在辐射曲线中，光的频率则被测量为从0到无穷的实数［彩虹并不只是由赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫组成，如罗伊·G.毕夫（Roy G.Biv）所言，而是由无穷的不可数的色彩构成］。辐射曲线的纵轴也有很多问题。发热物体的能量同样是可测量但是不可数的。想数出大小，普朗克不得不将光滑的辐射曲线近似为类似于墨西哥金字塔一样的阶梯状。如果他让这些阶梯足够小，使这些阶梯小到难以感知到，这些锯齿形轮廓就可以被替换成光滑曲线。
1700964263
1700964264
尽管普朗克和同时代的一些科学家一样不相信原子的存在，但是他想象力丰富。他知道一个炽热物体的热能是一些不可见运动的某种表现形式。我们所感知到的热，事实是物体内部物质的不可见摇晃或者振荡（你可以利用摩擦手掌或者用电钻钻一个硬物将运动转换成热）。基于这种理解，普朗克提出了一个天才的模型，在该模型中，频率和能量都是可数的。
1700964265
1700964266
最简单的储能以及以确定频率振荡的设备是谐振子（这个迷人的“谐”字源于产生乐音的振荡）。一个谐振子或者简写成“振子”的例子是：一个重物系在弹簧上，放在无摩擦的表面上，弹簧另一端固定在墙上（见图1.3）。
1700964267
1700964268
其他例子如音叉、音乐设备和钟摆。当弹簧松开的时候，振子既无动能也无储存在张开或压缩的弹簧中的势能。但是，当施加一些推力之后，它的能量将从动能慢慢转换成势能。反过来，这个过程的频率是固定的，大小用f表示。如果没有摩擦，它的总能量是一个常数，优雅的振动将一直持续下去。
1700964269
1700964270
1700964271
1700964272
1700964273
图1.3
1700964274
1700964275
作为权宜之计，拼接一些数学技巧，普朗克把炽热物体（如一个装有正在燃烧的气体的小球）的总热能想象成物体内部分布着大量的没有特定结构的微小振动，这些振动的功能仅仅是通过固定频率振动来储存能量，以及一直以相同频率释放或者吸收光。它们并不是用来模拟其他数不尽的气体性质，如化学成分、密度和电阻等。普朗克的模型难以捉摸，但是却富有远见。
1700964276
1700964277
随后事实越发清晰，即普朗克想象的小玩意儿确实是真的。这些谐振子就是组成发光球中振动的原子和分子，且事实上它们也释放和吸收光（虚构的模型中这个坚硬的墙代表的是大质量的气体分子，使原子差不多保持在其附近振动）。毫无疑问的是，原子的数量是巨大的，但是依旧可数且具有确定的数目（尽管在实际操作中数出它们的个数并不现实）。另外，正如他所言，普朗克谐振子“是单纯形式上的假设，并没有赋予它太多的意义”。类似于掷骰子从2到12这11个分立的数字，普朗克这个想象力上的大飞跃意义在于将一个范围内连续分布的频率分解成一系列分立、可数的频率。
1700964278
1700964279
接下来，普朗克将纵轴，即辐射能量或者亮度分解成离散的阶梯，对应于骰子的每个值出现的次数。最后他做了一个闻所未闻的奇怪假设，即每个谐振子只能储存少量且等额的原子能量，即普朗克所言的“能量单元”。这是比仅仅分解纵轴更具意义的假设。对于每个谐振子，他将其分为能量包，并认为能量包可能有不同大小，且依赖于频率。假如能量包的能量为e，那么谐振子能储存的总能量为0、e、2e、3e，等等。这个序列不会趋向于无穷，因为炙热的球的能量只有那么多，谐振子储存的能量最多是球的总能量，不可能更多。这个微妙之处最终使计算变得不一样。这使计算很优雅且有限，而不是趋向于无穷。
1700964280
1700964281
为了预测实际实验的辐射曲线，普朗克必须弄明白e的值。一个想象中的能量包的能量有多大？由已知的知识，当振幅不变时，能量和频率成正比，普朗克假设单个包的能量和谐振子的频率（由f表征）成正比（振荡越快，能量越大）。数学上看来，就是基本的能量包等于一个可调整的常数h乘以频率（这个可调整的常数被称为参数，可以微调以与环境相匹配）。公式表达即为：
1700964282
1700964283
e=hf
1700964284
1700964285
想象中充斥着储存在超大谐振子集合中的天文数字般的能量包，普朗克依旧能够计算出总能量在谐振子中分布方式的个数，并且画出气体球能量与频率的分布曲线。如同在掷骰子实验中一样，曲线的左端和右端最终比中间部分要低很多。通过改变h的数量级以及调整它的大小，普朗克以令人震惊的准确度重现了实验测量的辐射曲线。
1700964286
1700964287
尽管这个成就使他获得了诺贝尔奖，但是他长久以来希望他的能量包只不过是计算上的应急之举，而一个新的改良的模型能够修复未破缺的连续性。他不能简单地忽略常数h或者让它消失，因为这个常数出现在了实验室测量的真实辐射曲线对应的最终表达式中，但是他希望这些小的谐振子和它们的微能量包仅仅是一个工具——就像将发光的网格线投影到纸上，这只是用来辅助绘画，最终还是要把它关掉。
1700964288