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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 [:1700964149]
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 第4节 波函数
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物理学家的目标是解释非生命世界的运作方式。首先，哲学家按照如下方式描述一个客观物体：划过夜空的行星、冰雪的形成、七弦琴的声音。当关注不能被直接看到或者不那么容易测量的时候，物理学家创造了机械模型替代对客观事物的直观描述。希腊原子论用看不到的粒子穿过虚空描述连续物质，马克斯·普朗克看到了发热气球中数不尽的小振子，而尼尔斯·玻尔在他思考氢原子的时候把它想象成微型的太阳系。
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最终，机械模型失败了。它们被适时地抛弃了，取而代之的是更加抽象的数学模型。相比它们的先行者，数学模型如同斯巴达一般冷峻。它们由一系列方程和公式组成，不含修饰、色彩、可见的细节——没有机械模型那样丰富的外观（谁不为玩偶之家、模型船和模型火车着迷），但是数学模型之所以缺少吸引力，只不过是为了补偿它的一般性和预测能力。牛顿广泛适用的引力定律则是数个世纪以来对自然现象的纯数学描述最具说服力的例子[1]，它阻止了一代代专业和业余的物理学家的无效努力。他们曾试图将引力产生描述为由不可见粒子的机械推动和一些宇宙的流体的旋涡而引起的。然而，那些无穷无尽的天体和地球的信息都可以被压缩在8个符号之中，知道如何解读的人就能发掘其中的信息。
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到发展原子理论时，我们渐渐发现传统的分类是远远不够的。原子外壳中电子的运行轨道和速度似乎是无法获得的，原子释放光波看上去像粒子，电子表现得像波。原子物理颠覆了原来的观念。
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一小部分有杰出创造才能的物理学家意识到没有哪个机械模型能够令人信服地揭示波粒二象性，他们转而研究数学模型，最终引领了量子革命。他们志在用数学语言描述原子物理实验所展现出来的奇怪事实，而不是美丽如画般地描述潜在的现实。这是大胆的一步，他们的许多同行很难理解。但是量子现象的数学模型却硕果累累。
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重大飞跃在于将客体和它的描述分离开。“我们先不去看电子本身。”量子力学的创造者提醒道。偶尔他们会详尽地说，而更多的时候则是含蓄地表达出来。“甚至不要试图去想象一个设备表现得像电子，相反，让我们先去寻找一系列数学方程，这些方程可以预测实验室中电子的行为。数学并不会在意事物是否看上去像波或是粒子还是鸭嘴兽。”令他们喜悦的是，他们做到了。
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做到这个技巧的方案是一个公式，波函数（wavefunction，一开始是短语wave function，后来也用过连字符连接的wave-function，最终标称一个合成词wavefunction，这模仿了原始的德语构造方式）。它的创造者是埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger，1887—1961）。波函数不仅揭示了特定量子系统的属性，也包含了在这个系统上进行特定实验时的必要细节。因此，波函数不只是有一个，对于每个独特的实验室设定，都有一个特定的波函数。在大多数情况下，用图像表示的波函数一点都不像波，只有它的名字还在提醒我们，量子系统共有的一个重要的性质是叠加以及建设性或者破坏性干涉的可能性，即两列波占据同一个点，甚至可能彼此加强或者消除。
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通常来说，波函数的数学形式相当复杂——远比方程式E=mc2或e=hf复杂得多。因此，在这里我不讨论任何实际系统波函数的例子。但是这并不意味着我们不谈论它们，这就如同你在享受音乐的时候并不需要真正理解音乐。
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玻尔将氢原子类比成微缩的太阳系，比这更大胆的类比启发了波函数的构建。对经典物理学家来说，原子物理最令人费解的问题是原子能级的分立问题。不像地球卫星能够绕地球任意高度转动，且可以携带任意能量，束缚在原子中的电子只有确定的、分立的能量。这种限制来自哪里？
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连续性中出现（就像魔术意义上）分立值最好的例子就是音乐了。自远古时代以来，音乐设备，如七弦琴、鼓、长笛等，就能产生独立的基本音调，还有泛音。把波限制在一个有约束的空间，如固定长度的弦、圆形的鼓面、笛子中空的内部，你或许以为它们只会产生噪声，然而产生的却是纯音高。音高对应着带音符的声波的频率，而音乐则由组合不同分立频率得到。问题在于，原子限制电子，笛子限制振动的空气，除此之外两者没有任何相似之处，从这个角度来看，音乐设备中众所周知的频率分立如何帮助我们解释原子中神秘的能级分立？
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答案当然已包含在量子力学第一个尝试性的假设中，即由普朗克—爱因斯坦方程e=hf给出的能量和频率之间的基本联系。
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受众所周知的音乐设备所产生的声波公式启发，通过e=hf，量子力学创造者所面临的挑战是寻找具有分立频率的波的数学表达式，而这个表达式又和原子能级匹配。这个表达式也许不是用来描述原子本身，但是能够预测原子能级的梯度。埃尔温·薛定谔成功找到了建立一个数学方程的一般步骤，反过来，这个方程的解就是他著名的波函数。
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量子理论可被认为是一门找波函数并从中得到可测量结果预测的科学。随着时间推移，计算上繁杂的技巧也在与时俱进，一开始借助计算尺，现在则利用计算机。用这种方式研究的系统，从单个粒子和原子慢慢演变到大团材料，再到星体内部，甚至到了整个宇宙。到目前为止，量子力学成功地经受住了每一个实验测试。
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第一个用量子力学方式去处理的系统不是原子，甚至都不是电子，而是开创量子力学的装置——谐振子。它的数学描述仅仅涉及它的质量和不变的频率（使振子回复到它的平衡位置的振动强度可以由这两个量得到，所以不需要专门把它的形式包含进去）。不出所料，量子力学的标志普朗克常量h在这个计算过程中扮演着重要角色。它如同比例尺一样在图片边缘显示出来，为照片设定了度量，就像米尺为考古学家新挖开的地沟照片设置了刻度。
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作为理论上的小白鼠，谐振子非常简单，这是它的优势，而它的劣势在于，在20世纪并不存在足够小的、真实的、能用来展示量子力学效应的质量——弹簧谐振子[2]。最多这只能作为进行更复杂项目前的一个热身活动，诸如对氢原子的描述，得到的结果和实验的测量结果一致。尽管这样，即使是机械谐振子也可以揭示经典牛顿力学和量子力学间非同寻常的差别。普朗克在绝望之际猜测谐振子能量为e=hf倍数，这被证实几乎是正确的，但是并不完全。令人惊讶的是，限定（allowed）的能量梯度并非从最低能级开始，相反，最低能级是一个能量量子的一半，限定的能量是它的奇数倍e/2，3e/2，5e/2……普朗克非常幸运，因为不同能级间的差仍然是e的倍数，这个差决定了一个特定的谐振子所能吸收或者释放的能量，而这才是他真正需要假设的地方。一个量子谐振子不能辐射或吸收46.7hf能量，就如同杂货铺老板收到或者找零的现金不能是46.7美分。这是无法做到的！如果你试图吸干一个谐振子的所有能量，使它停下来，那么你注定会失败。就像一个极度活跃的咿呀学语的小孩，你永远无法让他停止手舞足蹈。记住，在剥夺谐振子的所有能量之后，由于h是如此之小，因此剩余的震颤很难被检测到。尽管如此，实验仍证实了量子力学的这个特殊的预测。
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除了能量的量子化，波函数意味着叠加。根据经典物理学理论，物体的位置和速度是被精确定义的。与此相反，谐振子或任何物质的粒子的波函数所包含的位置和速度的值，可以在一定范围内同时以不同的值分布，即叠加。注意，我并没有说位置和速度可以有分布。正确的表述应该是：包含在波函数中的位置和速度可以有分布。这是很重要的一个区别，随后我将更详细地讨论这个。
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波函数有点像地图——最理想的地图，它包含了量子系统所有可以说的东西。在这里需要提醒的是，普通地图所包含的信息并不一定会被完全展示在一张纸的图画或者地球仪上。举个例子说，道路地图册往往包含了表单，其中列出了城市之间的距离以及驾车时间。为了简化问题，设想一下，表单中的距离不是沿着高速路的真实里程，而是两个地点之间的直线距离，就像鸟飞行的路线。想象一下，这个表的扩展版本包含美国数以千计小镇的数据。原则上来说，通过这个表单是可以重建整个传统地图的。下面是如何去重建：圣路易斯（St.Louis）在地图页中间，纽约在右手边的边缘处，查阅电子表单中两地的距离。现在你就知道了比例：在你的地图上，一英寸代表多少英里。然后，从表单中，找到这两个城市到迈阿密的距离并把它转换成英寸。既然三角形三边能够确定一个三角形，现在你就知道了迈阿密的位置。继续这样的步骤，就可以得到整个地图了（见图1.10）。天文学家用这种方法记录地图，即把数以百万计的恒星的坐标列在一个很大的目录中而不是标在图标或球体上。地图、表单和目录可被用于记录同一个数据集，尽管它们看上去是如此不同，可对很多目的来说，它们是等价的。同样地，波函数所包含的信息可以用公式、表单、一系列数字或者一张图去展示。
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图1.10
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第一个关于谐振子的量子力学描述，事实上是用表单表达的，它在数学上被称为矩阵（matrix）。这些矩阵随后很快被证明在数学上和波函数等价。既然后者比前者更容易去想象，在本书大多数情况下，我将使用波函数。
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当试图解决量子力学的疑难之时，人们常常忘记了物体和它表示之间的差别，这是大部分人甚至是一些专业的物理学家都会掉入的陷阱。哲学家阿尔弗雷德·柯日布斯基（Alfred Korzybski）明确地表达了两者之间的显著区别，他创造了一个格言“地图非疆域”（The map is not territory.）。这个短语很精练地提醒了一个事实，那就是：一个对客体的描述并不是客体本身。现实并不是和描述现实的模型一样，就像“house”这个单词不是砖和泥灰做的房子。柯日布斯基警示了把地图和疆域混为一体的恶作剧，他的言辞引起了对量子力学的奇怪之处的一些质疑，质疑在于这种奇怪之处并不是自然本身而是来源于波函数。是否只是地图怪异而非疆域诡异？
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当我们是小孩的时候，我们学着通过探索街道地图和它所代表的沥青混凝土的关系，以此学着去读地图。当我们查阅静态的二维图像并试图把它转换成我们周围庞大混乱的三维世界时，或者相反，当我们看周围复杂现实世界的简单示意性的草图时，我们脑中闪过什么？比较疆域和地图的这个过程是如此艰难，以致一些人从没能真正理解。如果再把运动包含进去，如车载GPS（全球定位系统）屏幕，会让一些人更加疑惑。类似的隔阂阻碍了人们对量子力学的理解。在量子的世界，薛定谔的波函数就如同一个理论家笔记本中所构建的演化地图。假如它像地图，那么它到底要描述什么？又如何将它联系到现实的原子世界？
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[1]F=GmM/r2，其中F表示引力的强度，G是引力常数，m和M指相互吸引的两个物体的质量，r是两者之间的距离。
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[2]一个和人的头发丝宽度大小的微小的音叉被《科学》杂志评选为“2010年度科学重大突破”，它能够展现出量子行为。可参考http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_machine。
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