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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970770]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 2．奇妙的旋转
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我们到处都能看到旋转的物体。铁路和公路上车轮滚滚，舞台上芭蕾舞演员转圈频频。宇宙中的星云、我们居住的地球、太阳系和银河系，这些天体都处于永恒而持久的旋转运动中。
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物理学与各种旋转结下不解之缘，从力学中研究的刚体转动，到量子理论中的粒子自旋都与旋转有关。地球绕太阳转、月亮绕地球转、滚珠在轴承滚道中转、电子绕原子核转……每一层次的实验和理论中似乎都少不了旋转。物理中的旋转除了在真实时空中的旋转之外，还有一大部分是在假想的、抽象的空间中的旋转，比如动量空间、希尔伯特空间、自旋空间、同位旋空间等。
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在“1．少年天才创群论”一节中我们介绍了群论的基本概念，空间中的旋转也构成群，并且，旋转群是物理中非常重要的一类群。旋转群有离散的和连续的之分。连续旋转群具有天然的流形结构，是一种李群，理论物理，特别是统一理论中所感兴趣的旋转李群有SO（3）、SO（2）、U（1）、SU（2）、SU（3）等。
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旋转可以用大家熟知的矩阵来表示。因此，我们首先用矩阵的语言，解释一下上面所列的一串符号是什么意思：每个符号括号中的数字（3、2、1）是表示旋转的矩阵空间的维数；大写字母O（orthogonal）代表正交矩阵，U（unitary）代表酉矩阵，S（special）是特殊的意思，表示矩阵的行列式为1。
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比如，举三维空间的旋转群O（3）为例。这里3是指旋转空间的维数，O对应于保持长度和角度不变的正交变换矩阵。具体一点说，正交矩阵O（3）是一个由3×3＝9个实数组成的矩阵，它的3个列向量或者3个行向量，都构成三维空间中3个正交的单位矢量。一般来说，正交矩阵O（3）的行列式可为1或-1。当行列式为-1时，正交矩阵表示的变换是旋转再加反演，简单地说，反演就是将坐标符变号，因而行列式得到一个页号。上面所述的是O（3）旋转群，如果加上字母S，指的便是特殊旋转群SO（3），那意味着，矩阵行列式被限制为1。所以，SO（3）表示的是三维空间中无反演的纯粹旋转。
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有一个比SO（3）更简单的特殊旋转群，是SO（3）的子群，对应于二维空间中的旋转：SO（2）。因为SO（3）和SO（2）都是李群，因此SO（2）是SO（3）的“李子群”。
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物理学中的量子理论与复数关联密切，因此我们将正交群的概念从实数扩展到复数。正交矩阵在复数域中的对应物叫做“酉矩阵”，正交群O（n）便扩展成为元素为复数的酉群U（n）。酉矩阵的行列式一般来说也是一个复数。行列式限制为实数1的酉群被称为“特殊酉群”，记为SU（n）。举个例子：U（1）是一维复数空间的旋转群；SU（2）和SU（3）分别是二维和三维复数空间的特殊旋转群。
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李群是由有限个实数参数的连续变化而生成的连续群。因而，上面列举的旋转李群既具有群的代数结构，又有其几何图形，是参数空间的光滑流形。数学上“光滑”的意思表示无穷可微。如上所述，旋转李群的“群”的性质，可从研究相应的矩阵表示而得到。那么，它们作为“流形”的一面又如何呢？首先让我们看看图3-2-1所示的李群U（1）的图形。
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图3-2-1 U（1）群和SO（2）群
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根据酉群的定义，U（1）由1×1的所有酉矩阵构成。维数为1的矩阵只有一个元素，这里就是一个复数c。酉矩阵中的“酉”字表示正交归一的意思，这里也就是将复数c的模限制为1。
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矩阵群U（1）算是最简单的李群，对它稍加研究有助于我们对李群的理解。
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一个复数由两个实数组成，可以表示成二维实数空间中的一个点。U（1）群的元素包括模为1的所有复数，可以表示为：u＝eiφ。尽管复数u的模为1，但幅角φ还可以任意变化，所以U（1）是由复数平面上所有长度为1的矢量绕着原点转动形成的单位圆构成的，如图3-2-1（b）所示。
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为什么说这些矢量构成“群”呢？比如说，图3-2-1（b）中单位圆上标示的两个点：Z1＝eiφ1、Z2＝eiφ2，是U（1）群的两个元素，它们的乘积用复数Z表示，。这两个复数相乘，只需要将它们的幅角相加，相乘的结果Z仍然在单位圆上，仍然属于U（1）群，这是“群4点”要求中的第一点。第二点是结合律，复数乘法自然满足。第三点：U（1）群的幺元对应于幅角为0的元素，也就是实数1。第四点：群中任何一个元素都有逆元，只需要把幅角反过来就可以了，图3-2-1（b）中标示出了Z1的逆元。
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以上的分析说明复数平面单位圆上所有的点构成群，这个群表示复数平面上所有模为1，幅角从0～2π的所有旋转，将这个群记为U（1）。这个群中的元素是随着幅角φ的变化而连续变化，是李群。幅角φ就是这个李群的参数。
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图3-2-1（b）中的单位圆，便是李群U（1）的流形。这个流形是连通的，但不是单连通的。图3-2-2给予流形的连通性质以直观解释。
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图3-2-2 各种连通情况
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不是单连通意味着流形上存在不能连续地收缩到一个点的闭曲线。图3-2-1上的单位圆就是U（1）上的一条闭曲线，它显然不能连续地收缩到一个点，由此表明U（1）不是单连通的。
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一个复数由两个实数组成，复数平面上的转动实际上与二维实数平面上的转动一一对应。这个对应将U（1）群与SO（2）群关联起来，可以证明U（1）与SO（2）是同构的。两个群同构的意思可以大概理解为通常意义上所说的“相同结构”。也就是说，忽略组成每一个群的元素的具体属性、乘法操作的具体规定等，仅仅将“群”的结构性质“抽”出来比较，两个群是相同的。插进一段比喻，也许可以更好地理解“同构”：两个3口之家，陈家和李家，都由父、母、子组成。如果我们只感兴趣研究每个家庭成员的性别及相互关系这种结构的话，可以说这两个家庭是“同构”的。尽管陈妈妈已经60岁，李家儿子刚出生，这些细节都无所谓，我们运用数学“抽象”，只看我们需要看的结构，从而认定两个家庭是“同构”的。而具体的陈家和李家，只不过是这种结构的两个不同的具体表示而已。再进一步，如果另有张姓两兄弟，都分别有老婆和儿子，但大家住一起组成6口人的“张家”。那么显然的，陈家和张家不同构。
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所以，SO（2）与U（1）同构，它们的流形都是一维的，是单位圆。李群流形的维数也叫做“李群的阶数”，等于构成流形的独立参数的个数，与旋转所在空间的维数是两码事。比如SO（2）是二维空间的旋转，对应的旋转矩阵是2×2的。但作为李群，它只需要1个参数（转角）来表示，因而是1阶李群。见图3-2-1（c）右下角的2×2矩阵，矩阵是二维的，但参数只有一个：φ，因而流形是一维的。
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二维实数空间的SO（2）特殊旋转群与一维复数平面上的旋转群U（1）同构。那么，维数比它们高一阶的实数和复数旋转群之间是否也有类似的关系呢？比SO（2）维数高一维的是SO（3），比U（1）高一维的是U（2）。这两类旋转群的关系究竟如何？
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