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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 2．杨—米尔斯理论
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1949年春天，杨振宁（Chen-Ning Franklin Yang，1922— ）从芝加哥前往普林斯顿高等研究院作研究。之后，创立电磁场规范理论的赫尔曼·外尔从高等研究院退休离开了普林斯顿，杨振宁搬进了外尔的旧居，并成为高等研究院的永久成员。按照戴森的说法，他接替外尔的位置，成为理论物理界的一只领头鸟[12]。
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杨振宁不仅接租了外尔的房子，接替了外尔理论物理界的位置，还将他在规范理论方面的工作作了一个漂亮的推广。
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将我们之前介绍的外尔电磁规范理论回味一下，就会发现，规范场理论的最迷人之处在于它可以仅仅从电子运动的对称性出发，自然地从数学上引入电磁场。上述说法使人迷惑，因为凡是学过初中物理的人都知道，人类对电磁现象的认识是从诸多自然现象开始的。富兰克林的雷电实验、法拉第的电磁感应、麦克斯韦的理论综合，再到赫兹发现电磁波，一个接一个的科学家对电磁相互作用作出了贡献。现在怎么又说，电磁波这种物理现象，可以从与数学有关的电子对称性而“得到”呢？
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别着急，上面说法的大概思路如下。
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首先，不考虑电磁场，只看电子的情形。量子力学中薛定谔方程的解，也就是电子满足的波函数φ，相位是不确定的，可以将整个波函数乘以一个任意的常数相因子eiqθ而得到同样的物理效果，即自由带电粒子的系统具有某种整体规范对称性。从诺特定理可知，某种对称性对应于某种守恒定律，带电粒子波函数的相因子规范对称性对应于电荷q守恒。整体规范不变性表现在系统的拉格朗日量在某种对称变化下不变。例如，自由标量场φ的拉格朗日量形式为：
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￡φ＝（1/2）（∂φ*∂φ）-（1/2）m2（φ*φ）2
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将变换φ→eiqθφ代入上面的拉格朗日量表达式中，很容易看出这个变换将保持拉格朗日量不变，因为复数场乘以其共轭函数使得变换中的相因子互相抵消了。从物理意义上看，波函数φ是电子几率幅，将几率幅乘上一个相因子eiqθ，意味着几率幅的相位整体变化了一个角度qθ，对计算几率丝毫没有影响。因此，如果这个相因子是与时空位置x无关的，即θ是整体不变的常数，便完全不会影响物理规律。使用群论的语言，相因子对称性也就是U（1）群对称。也就是说，系统的拉格朗日量在由U（1）描述的整体规范变换下是不变的。
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具有整体规范对称的系统，是否也能有“局域”规范不变呢？局域的意思是说，相因子中的θ是时空位置的函数（写成θ（x），x表示四维时空坐标）。这时，场的变换相因子不再是一个整体的常数，而是每个时空点都不一样的函数。从以上拉格朗日量表达式可知，第二项仍然保持规范不变，但第一项因为包含了微分的原因便不再是规范不变的了。
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外尔的电磁规范理论解决了这个问题。为了保持电子运动的局域规范不变，外尔引进了一个四维矢量场A，与电子场关联起来，并使得作局域规范变换时，A也相应地变换。也就是说，当电子场变换相因子中的θ（x）是时空的函数时，四维矢量场A（x）也作相应变换的话，就能保证系统的拉格朗日量不变，也就是物理规律不变。
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如果用图5-1-3（b）的有趣而直观的比喻来说，就是外尔给电子e，或是电子场φ，找了一个“女朋友”A（x），两人一起跳舞，同时变换，互相默契、相互作用，遵循变换规律：
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φ→eiqθ（x）φ
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A→A-iq∂θ（x）
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便能保证系统的物理规律不变。并且，出人意料之外的是，由此而添加的规范场A，即外尔为电子场找的女朋友，是物理学家们早就认识熟悉的，她的名字叫做电磁场的四维矢量势。
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从以上的分析过程可见，矢量场A（x）是为了保证电荷守恒的局域对称性，使得带电粒子场的拉格朗日量在对称变换下保持不变而引进的一种数学形式，一开始似乎并没有任何物理意义，我们将它“看作”是电磁势，只是因为它正好和我们已经熟知的电磁作用性质一样。
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电子的女朋友电磁势可以正确地描述电子与电磁势的相互作用，物理学家们就让她正式成为家庭的一员，添加到系统的拉格朗日函数表达式中。因此，电子及电磁场的总系统的拉氏函数包括了3项：
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￡＝￡φ＋￡A＋￡相互作用
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不在这里讨论这个拉氏函数的具体形式，有兴趣读者可以参考文献[30]。
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然后，从拉格朗日表达式￡，可以使用最小作用量原理，应用变分法，推导出系统的运动方程，其中将包括了用四维矢量势A（x）描述的电磁场的麦克斯韦方程组。磁场B和电场E可以从用A（x）表示的四维电磁场张量的分量计算出来。再进一步，诸如库仑定律、法拉第定律这些实验规律都可以被推导出来。所以，以规范变换的观点，电磁场及其规律不是首先作为一个物理实在而引入，却是从系统对称性出发。成为满足与电荷守恒相关的U（1）对称性而导致的一个必然结果。
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以上叙述过程中涉及的电子场φ和电磁场A，都仍然属于经典场，外尔最初的电磁规范理论描述的是两个经典场之间的相互作用。使用量子场论的方法将经典场“二次量子化”之后，便可以推广到电子和光子间的相互作用。但无论如何，基本结论是一致的：电磁场，以及作为电磁相互作用媒介子的光子，都是考虑对称性而得到的自然结果。
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这就是数学之美、理论物理之美。这种美迷住了外尔，也吸引了华裔物理学家杨振宁。
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外尔一生珍爱他工作中的两样东西：规范场和非阿贝尔李群。而这两个领域也正好是年轻的杨振宁兴趣所在。杨振宁到芝加哥后，从泡利的关于规范不变性的综合报告中，更深入地了解到电荷守恒与规范不变之间的深刻联系，杨振宁后来在回忆中将外尔规范场称为当时“理论中的一组美妙的旋律”[31]，并想把这个理论推广到同位旋的相互作用上去。
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同位旋是海森伯为表达质子和中子间的对称性而引入的。如果撇开质子和中子这两种粒子电荷的不同，单就强相互作用而言，它们是完全对称的，可以看作是相同粒子的两种不同状态。
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电荷守恒可以导出电磁相互作用势以及电磁场运动规律，那么从同位旋守恒遵循的对称性，是否可以导出强相互作用的规律呢？杨振宁从芝加哥大学开始，便按照这个思路摸索了好几年，但没有得到满意的结果，具体计算也越来越复杂，似乎难以进行下去。
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不过，这个推广规范场的想法总在杨振宁脑海中挥之不去。直到1953—1954年，杨振宁暂时离开高等研究院，到纽约长岛的布鲁克海文实验室工作一段时期，正好和来自哥伦比亚大学的博士生米尔斯使用同一个办公室。布鲁克海文实验室有当时世界上最大的粒子加速器，世界各地也不断传来好几种介子被陆续发现的消息，这些实验使得这两位物理学家既振奋又雄心勃勃，杨振宁迫切感到需要寻找1个描述粒子间相互作用的有效理论，他对规范理论的思考也有了重大的突破。他和米尔斯认识到描述同位旋对称性的SU（2）是一种“非阿贝尔群”，与外尔的电磁规范理论的对称性U（1）完全不同，需要进行不同的数学运算。比如，将四维电磁矢量势A，推广到杨—米尔斯场的情况时，用B来表示。A是电子场的女朋友，B是杨—米尔斯场的女朋友。因为杨—米尔斯场描述的对象是两个分量的同位旋，与其般配的女朋友B也不是原来的矢量场了，应该是2×2的矩阵场！而矩阵是不对易的，因而，在相应的张量Fμν表达式中需要加上一项对易子，见图5-2-2。
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