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力学（物理类） [:1700973467]
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力学（物理类） 5 质心 刚体
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力学（物理类） [:1700973468]
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5.1 质 心
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5.1.1 质点系与刚体
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质点系的力学基本问题是已知质点系的初始运动状态，即某时刻各质点的位矢ri（0）和速度vi（0），以及质点系的内力和外力分布，即各质点所受内力Fi内和外力Fi外的时空分布，要求解出质点系而后的运动状态，即各质点的位矢随时间的变化ri＝ri（t）．原则上这一问题是可解的，因为牛顿第二定律可为每一个质点列出一个动力学方程，方程个数与所求量个数相同．实际求解却因为系统的多体性、力的位矢关联性以及力的非线性，而变得非常困难．一般的质点系各个质点都可以在空间自由运动，包含的质点越多，待解的位矢越多，方程组也越加庞大，这就是多体性的困难．相互作用力常与质点间相对位置相关，例如三质点引力系的动力学方程组为
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各质点所受引力不仅与自己的位矢有关，还与其他质点位矢有关．相关交叉给数学上的变量分离设置了障碍，这就是力的位矢关联性困难．如果力与位矢的关联是线性的，动力学方程组便是线性方程组，较易求解（见本章例8）．宏观世界中诸多力，如上述的万有引力，与位矢关联不是线性的，即使少至三个质点构成的引力系统，都无法获得由积分表达式给出的解析解，这就是力的非线性困难．
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刚体是其中任何两个点部位间距都恒定不变的质点系，或者说是刚性质点系．刚体中若是三个不共线的点部位A1，A2，A3的位矢确定，其他点部位均被这三点“抓住”，位置随即确定，质点系的多体性困难在刚体中基本消失．A1，A2，A3三位矢含9个空间坐标量：（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），（x3，y3，z3），它们满足两两间距不变的约束方程：
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可见只有6个是独立的，或者说刚体的运动自由度降为6．刚体中任选一个点部位C，刚体的真实运动可分解成整体随C点的平动和整体绕C点的转动．C点的运动有3个自由度，刚体的平动也因此有3个自由度．建立随C点平动的参考系，在此参考系中刚体绕C点的转动即为刚体的定点转动，有3个自由度．刚体运动的相关内容，已在1.4.2节中较详细地介绍过，不再细述．
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从运动学考虑，刚体中任一点部位都可选作平动参考点C．将C点处理为质点，从动力学考虑，为了确定刚体随质点C的平动，必须求解位矢rC随时间t的变化关系，这就需要首先给出质点C所受的全部内力与外力．一般情况下，内力结构复杂，外力分布相对比较清楚．值得考虑的是刚体中是否存在一个点部位C，它的运动与内力无关，而是由运动的初始状态和外力所确定？这样的点部位是存在的，它就是质点系的质心C．
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取质心C为参考点，刚体的平动便与内力无关．刚体绕C点的转动问题，可以通过功—能关系和力矩—角动量关系获解．由于任何两个点部位间距不变，刚体内力作功之和为零．力矩方面，内力相对于任何一个参考点的力矩之和也是为零．于是刚体作为一个特殊的质点系，无论内力与点部位间相对位置有什么样的关系，都可以避开其结构来求解刚体的运动问题．
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5.1.2 质心 质心运动定理
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质心C首先被定义为一个几何点，它的位置是由质点系的质量分布确定的，因此也称为质量分布中心．质点系中各质点的质量和位矢分别记为mi和ri，那么质心C的位矢定义为
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其中m是质点系质量．第4章述及的重心与此处的质心是两个不同的概念，但是在地面附近重力加速度g可处理成常矢量的线度范围内，质点系重心G的位置（见（4.11）式）与质点系质心C的位置是重合的．处理问题时为了方便，通常又将质心质点化，使它成为一个具有质点系质量的假想质点，即有
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由两个质点构成的质点系，质心C必定在这两个质点的连线上．沿连线设置x轴，参考图5-1，有
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图 5-1
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若将坐标原点O设置在C上，则有
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