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力学(物理类) 8.4 狭义相对论动力学
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8.4.1 力的定义和变换
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牛顿力学中物体的质量m和物体所受力F一起由关系式F=ma定义,演示宏观现象的大量实验对定义的认可,使得关系式F=ma成为定律.定律中的m不随物体的运动状态发生变化,是一个参考系不变量.经典理论中a是惯性系不变量,于是牛顿定律的惯性系不变性要求F也是惯性系不变量.经典力学涉及的诸多真实力,如牛顿万有引力、重力、浮力、摩擦力、弹性力等,在当时的实验精度范围内已被证实都是惯性系不变量.
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爱因斯坦狭义相对论时空度量关系的建立,揭示出除非加速度为零,否则a不是惯性系不变量.面对这一结论,显然不能不加论证地判定在狭义相对论中m,F仍然可以是惯性系不变量,而是需要一般地考察m,F的惯性系变换关系.另一方面,在狭义相对论中也不能不加论证地认可,以F=ma形式表述的牛顿第二定律仍然满足相对性原理的要求.总之,在狭义相对论的动力学内容中,一是要找出F,m的惯性系变换式,二是要建立符合相对性原理要求的牛顿第二定律.
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完成上述工作的途径不是唯一的.例如可以在改造牛顿第二定律之前,先设定与外界无相互作用的物质系统其总能量(包括机械能、热能……)和动量分别守恒,或者改为设定这样的系统其总质量和动量分别守恒.而后,通过两个全同质点的弹性碰撞或完全非弹性碰撞,简捷地得到质点质量m随其运动速度u的变化关系,实质上也就是得到了质量的惯性系变换式.牛顿第二定律表达式F=ma中m的不变性既然已被否定,便改取表达式F=d(mu)/dt=dp/dt来考察它的惯性系不变性和F的惯性系变换式.
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狭义相对论的创建源于电作用理论.如前所述,爱因斯坦第一篇相对论论文的标题定为《论动体的电动力学》,全篇宗旨就是以新建的狭义相对论时空变换为基础,从理论上证明麦克斯韦场方程满足相对性原理要求,即具有惯性系不变性,同时导得了电磁场量的惯性系变换式.考虑到这一缘由,下面将以爱因斯坦的电磁场量变换式为基础,首先导出力F的变换式,进而讨论牛顿第二定律的相对论修正.
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麦克斯韦场方程是以E,B已有度量定义为前提的,逻辑上可以将带电质点在电作用场中的受力公式
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处理为对E,B的定义式,式中q是带电质点的电量,u是带电质点的运动速度.(8.21)式的含义是将电作用场分解成电场和磁场两部分.其中电场给电荷q的作用力Fe与带电质点运动状态无关,力的结构式Fe=qE中的E即为电场参与力构造的因素量.磁场仅对运动电荷{q,u}施以附加的作用力Fm,力的结构式Fm=qu×B中的B即为磁场参与力构造的因素量.经典理论中,F已在质点动力学中给出度量定义.
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狭义相对论中,在尚未完成对牛顿三定律的检查和修正工作时,逻辑上也可以在电作用理论框架内,将(8.21)处理成同时给出F,q,E,B度量定义的基本公式.电作用理论中认定q是运动不变量,这也是可以理解的.宏观物体均由原子构成,原子中电子的电量若因电子绕核高速运动而发生变化,原子便不再是电中性的,原子间会相互排斥,宏观物体很难稳定,这与事实不符.
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(8.21)是惯性系不变式,符号右边的q是惯性系不变量,速度u的惯性系变换式已经给出,那么在获得E,B的惯性系变换式后,便可导得力F的变换式.E,B的变换式(推导过程参阅例16)如下:
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其逆变换为
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为导出力变换式,先用速度u点乘(8.21)式两边,有
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因u·(u×B)=0,即得
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(8.21)式的惯性系不变性要求S′系中下式成立:
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取x′分量式:
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