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12堂魔力数学课 世界上最神奇的数字
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小时候，我最喜欢的数字是9，因为我觉得它有很多神奇的特点。下面，我举一个例子。请大家按照以下步骤完成这个魔术。
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第一步：从1到10中选择一个数字（你也可以选择一个大于10的整数，并且可以使用计算器）。
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第二步：把这个数字乘以3。
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第三步：加上6。
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第四步：乘以3。
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第五步：如果你愿意，还可乘以2。
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第六步：把所有数位上的数字相加。如果和是一位数，魔术表演到此结束。
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第七步：如果和是两位数，将这两个数位上的数字相加。
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第八步：集中注意力，默念这个得数。
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好了，我有一种强烈的感觉：你现在心里想的这个数字肯定是9。我说对了吗？（如果不是，请你检查各个步骤的计算是否有误。）
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数字9为什么如此神奇呢？在本章中，我们将见证它的神奇属性，我们甚至会发现，在某个神奇的世界里，12和3的作用竟然完全相同！仔细研究9的倍数，我们可以发现它的第一个神奇特点：
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9，18，27，36，45，54，63，72，81，90，99，108，117，126，135，144…
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这些数字有什么共同点？把它们所有数位上的数字相加，和似乎都是9。我们任选几个数字检验一下：18的各个数位上的数字之和是1 + 8 = 9，27的各个数位上的数字之和是2 + 7 = 9，144的各个数位上的数字之和是1+ 4 + 4 = 9。但是，不要高兴得太早，因为有一个数字出现了例外情况：99的各个数位上的数字之和是18！不过，18也是9的倍数。因此，我们得出一个结论：
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如果某个数字是9的倍数，那么该数的各个数位上的数字之和是9的倍数（反之亦然）。
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上小学时，老师可能告诉过你这条规则。在本章中，我们将探讨其中的原理。
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举两个例子。数字123 456 789的各个数位上的数字之和是45（9的倍数），因此这个数字是9的倍数。314 159的各个数位上的数字之和是23（不是9的倍数），因此这个数字不是9的倍数。
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我们可以借助这条规则，来理解前文中的那个魔术。你先选择一个数字，我们把它记作N。乘以3之后，得到3N。在第三步，你得到3N+ 6。再乘以3，即3 (3N+ 6) = 9N+ 18=9 (N+ 2)。如果你决定再乘以2，就会得到18N+ 36 = 9 (2N+ 4)。无论是否乘以2，最后得数都是某个整数的9倍，因此你的最终答案必然是9的倍数。将它的各个数位上的数字相加，和依然是9的倍数（可能是9、18、27或36），再将这个和的各个数位上的数字相加，得数必然是9。
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我经常会对这个魔术稍加改变：请观众准备好计算器，并让他们在以下这些四位数中选择一个，但不要说出来。
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3 141，2 718，2 358，9 999
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这4个数字分别是π（参见本书第8章）的前四位数、e（参见本书第10章）的前四位数、斐波那契数列（参见本书第5章）的第3项至第6项，以及最大的四位数。然后，请他们任选一个三位数，与他们选择的那个四位数相乘。乘积是一个六位数或者七位数，但你不可能知道。接下来，请他们默想着把乘积的某个数位上的数字圈起来。但圈起来的那个数字不可以是0，因为0本身已经像一个圆了。再请他们按照任意次序，把剩下的数字列出来，同时集中注意力想着那个被圈起来的数字。这时，你只需稍动脑筋，就可以说出他们圈起来的那个数字到底是几。
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这个魔术的奥秘是什么？请注意，你在魔术开始时给出的所有4个数字都是9的倍数。与整数相乘后，积仍是9的倍数。因此，所有数位上的数字之和也是9的倍数。在观众向你报数后，你只需将它们相加，把得到的和与观众圈起来的那个数字相加，也应该是9的倍数。例如，假设观众报出的数是5、0、2、2、6和1。这些数字的和是16，与之最接近的9的倍数是18，因此他们圈起来的那个数字必然是2。如果观众报出来的数字是1、1、2、3、5和8，它们的和是20，那么还需要加上7才能凑成27。假设观众报出来的数字之和是18，那么被圈起来的数字是几呢？既然我们告诉他们在圈数字时不要选择0，那么这个数字必然是9。
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为什么9的倍数的各个数位上的数字相加之后仍然是9的倍数呢？我们通过一个例子来分析其中的道理。我们可以利用10的整数次幂，把数字3 456变成下面这种形式：
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3 456 =3×1 000 +4×100 +5×10 + 6
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= 3×(999 + 1) + 4× (99 + 1) + 5× (9 + 1) + 6
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