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12堂魔力数学课 [:1700993723]
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12堂魔力数学课 弃九法与加减乘除运算
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如果某个数字的各个数位上的数字之和不是9的倍数，会怎么样呢？例如，我们考虑数字3 457的情况，它的各个数位上的数字之和是19。按照上述步骤，我们可以把3 457写成3×999 + 4 ×99 + 5×9 +7 + 12的形式。由此可以看出，3 457比9的某个倍数多出7 + 12 = 19。由于19 = 18 + 1，这说明3 457比9的某个倍数仅大1。把19的各个数位上的数字相加，和是10，再将10的各个数位上的数字相加，和是1。我把这个过程表示为：
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3 457→19→10→1
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将一个数字各个数位上的数相加并不断重复该步骤，直至得到一个一位数，这就是所谓的“弃九法”（casting out nines），因为每次相加之后都会减去一个9的倍数。该过程最后得到的那个一位数叫作原始数字的“数根”（digital roots）。例如，3 457的数根是1，3 456的数根是9。简言之，对于任意正数n：
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如果n的数根是9，n就是9的倍数。否则，n的数根就是n被9除之后得到的余数。
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用代数形式来表示，即如果n有数根r，那么：
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n= 9x+r
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其中x是整数。弃九法有一个非常有趣的应用，可以用来检验加、减和乘法运算的得数是否正确。例如，如果某个加法运算是正确的，答案的数根就必然与两个加数的数根之和一致。举一个例子，下面是一道加法题：
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请注意，两个加数的数根分别是5和6，它们的和是11，11的数根是2。不出所料，这道题的答案134 651的数根也是2。其中的道理可以用下面这个代数式表示：
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(9x+r1) + (9y+r2) = 9 (x+y) + (r1+r2)
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如果数根不一致，就说明肯定有哪个地方出错了。切记，即使数根一致，也未必表示你的计算没有错误。但是，这个方法可以帮助你发现大约90%的随机错误。注意，如果你一不小心导致两个数位彼此错位，而数字没有出错，这种检验方法就不管用了，因为在数字正确、数位错位的情况下，数根不会发生变化。不过，如果只有一个数位出错，弃九法就可以找出这个错误，除非这个错误是把0当成了9，或者把9当成了0。在多数相加时，该方法同样有效。例如，假设你买了一堆东西，价格如下：
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把答案的各个数位上的数字相加，发现数根是5。所有加数的数根之和是32，32的数根是5，所以两者是一致的。弃九法对减法同样有效。例如，把我们在前面做的加法题改成减法题：
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答案48 923的数根是8。把减数和被减数的数根相减，得到5 – 6 = –1。由于–1 + 9 = 8，而且在答案的基础上加（或减）9的倍数都不会改变它的数根，因此我们说这两个数根是一致的。同理，如果减数和被减数的数根之差是0，答案的数根是9时，两者也是一致的。
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我们可以利用学到的这些知识，设计一个新的魔术（仿照本书引言中介绍的那个魔术）。请按以下步骤操作，可以使用计算器。
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第一步：选择一个任意的两位数或者三位数。
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第二步：把各个数位上的数字相加。
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第三步：用最初的数字减去第二步得出的和。
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第四步：将差的各个数位上的数字相加。
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第五步：如果和是偶数，就乘以5。
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第六步：如果和是奇数，就乘以10。
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