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12堂魔力数学课 [:1700993725]
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12堂魔力数学课 你出生那天是星期几？
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与数学界的朋友聚会时，我最喜欢表演的魔术是根据他们的生日说出他们是星期几来到这个世界上的。例如，如果某人告诉你她的生日是2002年5月2日，那么你可以立刻告诉她那一天是星期四。随意给出今年或者明年的某一天，你都能计算出它是星期几，这项技能在日常生活中常常要用到。在这一章里，我会教给大家一个秘诀，并解释其中的原理。
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不过，在学习这个方法之前，我们先要简单了解一下日历的科学原理与历史变迁。由于地球绕太阳一周需要365.25天，因此一年通常有365天，但每4年就会多一个闰日，即2月29日。（这样一来，4年正好是4×365 + 1 = 1 461天。）两千多年前，尤利乌斯·恺撒据此创建了“儒略历”。比如，2000年是闰年，之后每4年一个闰年，于是，2004、2008、2012、2016…2096年都是闰年。但是，2100年却不是闰年，为什么呢？
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原来，一年实际上有365.243天（比365.25天大约少11分钟），因此闰年的出现频率略高于实际情况。地球绕太阳400圈需要146 097天，但是儒略历为它安排了400×365.25 = 146 100天，也就是说，多了3天。1582年，为了规避这个问题（也为了方便地确定复活节的具体日期），罗马教皇格里高利十三世创建了“格里高利历”。当年，一些信奉天主教的国家从日历里删除了10天。例如，西班牙规定，在儒略历1582年10月4日星期四这一天结束之后，就进入格里高利历1582年10月15日星期五。格里高利历规定，可以被100整除的年份不再是闰年，除非它们还可以被400整除。通过这个办法，格里高利历从儒略历中减去了3天。于是，1600年仍然是格里高利历的闰年，但是1700年、1800年和1900年却不再是闰年了。同理，2000年和2400年是闰年，而2100年、2200年和2300年则不是闰年。在这种体系下，每400年里的闰年数量是100 – 3 = 97，总天数是 (400×365) + 97 = 146 097，正好是我们想要的结果。
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格里高利历并没有马上被所有国家接受，非天主教国家更是不愿意采用这个新历法。例如，英国及其殖民地国家直到1752年才完成了历法转换，从当年的9月2日星期三直接进入9月14日星期四。（注意，这次转换略去了11天，因为1700年在儒略历里是闰年，但在格里高利历里却不是闰年。）直到20世纪20年代，所有国家才全部弃用儒略历，改用格里高利历。一直以来，历史学者因为这个问题吃了不少苦头。我觉得历史上最有意思的一件事，就是威廉·莎士比亚与米格尔·德·塞万提斯的去世时间相差10天，但他们却都是在1616年4月23日离开人世的。原因在于，那时西班牙已经开始采用格里高利历，而英国仍在沿用儒略历。当塞万提斯于1616年4月23日去世时，莎士比亚尚未离开人世（尽管他的离世时间只比塞万提斯晚了10天），而且他所在的英国那一天的日期是1616年4月13日。
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计算格里高利历任意一天是星期几的公式如下：
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星期几≡月份代码 + 日期 + 年份代码(mod 7)
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我们简单介绍一下该公式各项的含义。因为一个星期有7天，因此公式使用的模为7。例如，如果某个日期距离今天还有72天，由于72 ≡ 2 (mod 7)，因此计算该日期是星期几时应该在今天的基础上再加上两天。由于28是7的倍数，如果今天是星期三，那么28天之后的那一天同样是星期三。
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我们先介绍星期一至星期天的代码，因为这些代码比较容易记忆。
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在“数字—星期几”组合旁边，我给出了辅助记忆的方法[2]。这些方法大多简单明了，无须解释。在记忆“星期三”时，注意观察你伸出来的三根手指，是不是很像字母“W”呢？在记忆“Thursday”时，把它读成“Thor’s Day”，听上去跟“Four’s Day”（4s–day）十分相似。
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一周7天的名称是怎么来的呢？我们知道，这7天是分别按照太阳、月亮以及距离我们最近的五大天体来命名的，这个传统要追溯至古巴比伦。从太阳（Sun）、月亮（Moon）和土星（Saturn），我们可以很容易地想到星期天（Sunday）、星期一（Monday）和星期六（Saturday）。其他几天与星体的联系在法语或西班牙语中表现得比较明显，例如，火星（Mars）变成了Mardi或Martes，水星（Mercury）变成了Mercredi或Miércoles，木星（Jupiter）变成了Jeudi或Jueves，金星（Venus）变成了Vendredi或Viernes。注意，在罗马神话中，Mars、Mercury、Jupiter和Venus还是神的名字。英语有一部分源于德语，而很早以前德国人就把某些天的名称改成了北欧神话中神的名字。于是，Mars变成了Tiw，Mercury变成了Woden，Jupiter变成了Thor，Venus变成了Freya，而Tuesday、Wednesday、Thursday和Friday则变成了星期二、星期三、星期四和星期五的名称。
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下表给出了月份代码以及辅助记忆的方法。
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①该辅助记忆方法是基于从1月到12月的英文单词、相关节日单词等所包含的字母个数形成的。——编者注
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*例外情况：在闰年，1月的代码为5，2月的代码为1
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我暂时不解释这些数字是怎么来的，因为我希望大家先学会如何计算。现在，大家只需要知道2000年的年份代码是0。下面，让我们来计算2000年3月19日是星期几。由于3月的月份代码是2，2000年的年份代码是0，根据公式，2000年3月19日满足：
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星期几 = 2 + 19 + 0 = 21 ≡ 0 (mod 7)
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因此，2000年3月19日是星期天。
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下面，我简要解释一下月份代码的由来。请注意，在非闰年中，2月与3月的代码是相同的。这是有道理的，因为2月有28天，也就是说3月1日比2月1日晚28天，因此这两天在星期几这个方面是一样的。2000年3月1日是星期三，如果我们希望2000年的年份代码是0，同时希望星期一的代码是1，那么3月的月份代码只能是2。因此，在非闰年中，2月的月份代码是2。由于3月有31天，比28天多出3天，因此4月的日历要向后移3天，因此它的月份代码是2+ 3 = 5。在4月的28 + 2天与5这个月份代码的共同作用下，5月的月份代码只能是5 + 2 = 7。由于模为7，因此7可以变成0。按照上述方法，就可以得到其他月份的代码。
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另一方面，在闰年中（例如2000年），2月有29天，因此3月的日历要在2月的基础上向前移一天，进而得出闰年2月的代码是2 – 1 = 1。1月有31天，那么1月的代码肯定比2月的代码小3。所以在非闰年中，1月的月份代码是2 – 3 = – 1 ≡ 6 (mod 7)；在闰年中，1月的代码是1 – 3 = –2 ≡ 5 (mod 7)。
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每过一年，你的生日会变成星期几呢？正常情况下，两个生日之间有365天，你的生日在一周中的位置会向后移1天，这是因为365 = 52×7 + 1，即365 ≡ 1 (mod 7)。但是，如果两个生日之间出现了2月29日（假设你的生日不是2月29日），那么你下一年的生日就会向后移2天。就公式而言，我们只需为逐年的年份代码加1就可以了，但是遇到闰年时，则需要加上2。下表给出了2000—2031年的年份代码。不要着急，这份表是不需要记忆的！