打字猴:1.700995409e+09
1700995409 12堂魔力数学课 [:1700993728]
1700995410 12堂魔力数学课 加法法则和乘法法则
1700995411
1700995412 从本质上看,计数问题大多涉及两个法则,即加法法则和乘法法则。在存在多种不同类型选择的情况下,计算可选方案的总数,需要使用加法法则。例如,如果你有3件短袖衬衫和5件长袖衬衫,那么在考虑穿哪件衬衫时,你一共有8种不同的选择。一般而言,如果你的可选对象分为两种,第一种对象包含a个选择方案,第二种对象包含b个选择方案,那么你在这两种对象中做出选择时一共有a+b个方案(假设a、b两种选择方案各不相同)。
1700995413
1700995414 延伸阅读
1700995415
1700995416 如前所述,加法法则假设这两种对象彼此不同。但是,如果有c个对象同时属于这两个类型,这些对象就会被统计两次。因此,不同对象的个数应该是a+b–c。例如,在一个班级中,有12名学生养狗,19名学生养猫,还有7名学生既养狗又养猫,那么养宠物的学生总数应该是12 + 19 – 7 = 24。再举一个数学味儿更浓的例子。在从1到100的数字中,2的倍数有50个,3的倍数有33个,既是2又是3的倍数(即6的倍数)的数字有16个。那么,在从1到100的数字中,是2或者3的倍数的数字一共有50 + 33 – 16 = 67个。
1700995417
1700995418 乘法法则的意思是:如果某项活动由两个部分构成,完成第一部分的方法有a个,完成第二部分的方法有b个,那么完成整个活动共有a×b个方法。例如,我有5条裤子和8件衬衫,而且我不关心颜色搭配(我想,学数学的人大多如此),那么我一共有5×8 = 40个不同的搭配方案。如果我有10条领带,那么衬衫、裤子加领带的搭配方案共有40×10 = 400个。
1700995419
1700995420 一副普通的扑克牌(不含大小王)有4个花色(黑桃、红心、方块和梅花)、13种牌值(A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q和K),每张牌只能有一个花色和一种牌值。因此,一副牌(不含大小王)共有4×13 = 52张。我们也可以把全部的52张牌排列成一个4×13的长方形,如下图所示,从中也可以看出一副牌共有52张。
1700995421
1700995422
1700995423
1700995424
1700995425 接下来,我们用乘法法则计算邮政编码的个数。从理论上讲,一共可以有多少个五位数的邮政编码呢?邮政编码的每个数位上的数字可以从0至9中任选,因此最小的邮政编码可能是00000,最大的可能是99999,共有100 000个。根据乘法法则,我们也可以得出这个结果。第一数位上的数字有10种选择(0~9),第二、第三、第四和第五数位上的数字也各有10种选择。因此,邮政编码的个数是105= 100 000。
1700995426
1700995427 在统计邮政编码的个数时,数字是可以重复出现的。现在,我们来研究对象不能重复出现的情况,比如将对象排成一行。很容易看出,两个对象有两种排列方式。例如,字母A和B可以排列成AB和BA这两种形式。3个对象有6种排列方式:ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA。假设有4个对象,在不把它们写出来的情况下,你知道它们共有24种排列方式吗?在安排第一个字母时,有4种选择(A、B、C或者D)。第一个字母确定之后,安排第二个字母时有3种选择,安排第三个字母时有2种选择,安排最后一个字母时只有一种选择。因此,一共有4×3×2×1 = 4! = 24种排列方式。一般而言,n个不同对象有n!种排列方式。
1700995428
1700995429 在接下来的例子里,我们结合使用加法法则和乘法法则。假设美国某个州发放两种车牌。第一种车牌的前三位是字母,后三位是数字。第二种车牌的前两位是字母,后4位是数字。最多可以发放多少个不同的车牌呢?(尽管某些字母与数字外形相似,例如O与0,但我们不考虑这种情况,允许使用所有26个英文字母和10个数字。)根据乘法法则,第一种车牌的可能数量为:
1700995430
1700995431 26×26×26×10×10×10 = 17 576 000
1700995432
1700995433 第二种车牌的可能数量为:
1700995434
1700995435 26×26×10×10×10×10 = 6 760 000
1700995436
1700995437 由于每个车牌要么属于第一种,要么属于第二种(不可能既属于第一种又属于第二种),根据加法法则,车牌的总数是:17 576 000 + 6 760 000=24 336 000。
1700995438
1700995439 计数问题(数学界把这个分支称作组合数学)可以给我们带来诸多乐趣,其中之一就是我们经常发现同一个问题有多种解法。(心算问题也可以让我们体验到这种乐趣。)前面那个例子其实只需一个步骤即可完成。可发放的车牌数是:
1700995440
1700995441 26×26×36×10×10×10 = 24 336 000
1700995442
1700995443 这是因为车牌的前两位分别有26个选择,后三位各有10个选择,而第三位既可以选择字母,又可以选择数字,因此有26 + 10 = 36个选择。
1700995444
1700995445
1700995446
1700995447
1700995448 12堂魔力数学课 [:1700993729]
1700995449 12堂魔力数学课 冰激凌、彩票与扑克牌游戏
1700995450
1700995451 接下来,我们将利用刚刚学到的计数知识,计算我们中彩票大奖和玩扑克牌游戏时拿到各种牌面的概率。但是,我先制作一些冰激凌,让大家放松放松。
1700995452
1700995453 假设某家商店出售10种口味的冰激凌,可以搭配出多少种三球冰激凌呢?在做圆筒冰激凌时,各种口味的先后次序是需要考虑的(当然如此!)。如果各种口味都允许重复,那么每个冰激凌都有10个选择,共可以做出103= 1 000种圆筒冰激凌。如果我们要求每个冰激凌有3种不同口味,那么圆筒冰激凌的种类为10×9×8 = 720种,如下图所示。
1700995454
1700995455
1700995456
1700995457
1700995458 把3种不同口味的冰激凌球放到一个圆筒里,共有3! = 6种排列方式
[ 上一页 ]  [ :1.700995409e+09 ]  [ 下一页 ]