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12堂魔力数学课 [:1700993732]
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12堂魔力数学课 大自然中随处可见的数字
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请大家认真观察最奇妙的数列之一——斐波那契数列。
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1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233 …
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斐波那契数列的前两项分别是1、1，第3项是1 + 1 = 2（第1项和第2项之和），第4项是1 + 2 = 3（第2项和第3项之和），第5项是2 + 3 = 5（第3项和第4项之和），之后的各项依次是3 + 5 = 8，5 + 8 = 13，8 + 13 = 21…。1202年，比萨的利奥纳多（后被人称为“斐波那契”）在其著作《算盘书》（Liber Abaci）中第一次介绍了这些数字。这部著作不仅把阿拉伯—印度数字系统引入了欧洲国家，还为西方世界创立了沿用至今的计算方法。
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这部著作论述了很多计算问题，其中有一个有趣的“兔子问题”：假设兔子永远不会死，小兔子长大需要1个月，然后每个月生一对小兔子；如果一开始的时候有一对小兔子，那么12个月之后共有多少对兔子？
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我们可以用图形或者符号来呈现这个问题。用小写字母“r”表示一对小兔子，用大写字母“R”表示成年兔子。每个小写的“r”到下一个月就会变成大写的“R”，大写的“R”则变成“Rr”。（也就是说，小兔子长成大兔子，大兔子生下小兔子。）
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我们利用下表对问题建模。我们发现，在前6个月里，兔子的对数分别是1、1、2、3、5、8。
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我们在不具体列出兔群构成的情况下，可以证明到第7个月时有13对兔子。那么，其中有多少对成年兔子呢？由于第6个月的所有兔子到第7个月时都是成年兔子，因此第7个月有8对成年兔子。
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第7个月又有多少对小兔子呢？它在数量上等于第6个月的成年兔子的对数，即5对（与第5个月时的兔子总数必然相等）。因此，第7个月的兔子对数为8 + 5 = 13。
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如果把斐波那契数列的前两项分别定义为F1= 1，F2= 1，随后各项分别为其前面两个数字之和，那么，对于n≥3，有：
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Fn=Fn–1+Fn–2
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如下表所示，F3= 2,F4= 3,F5= 5,F6= 8，以此类推。
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斐波那契数列的前13个数字
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因此，前文中兔子问题的答案是F13= 233（包含F12= 144对成年兔子和F11= 89对小兔子）。
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除了研究人口动态以外，斐波那契数列还有无数其他应用，而且我们经常可以在自然界中发现它的踪影。例如，花朵的花瓣数常常是斐波那契数列中的一个数字，向日葵、菠萝、松球等的螺旋结构中也常常含有斐波那契数列中的数字。但是，最让我沉醉不已的是斐波那契数列表现出来的那些美丽动人的规律。
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例如，我们把斐波那契数列的前几个数字相加，看看它们的和有什么特点。
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这些和大多不是斐波那契数列中的数字，但却非常接近。事实上，这些和分别比斐波那契数列小1。下面，我们来看看其中的奥秘。以最后一个等式为例，我们把每个数字改写成其后两个数字之差的形式，上式就会变成：
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