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12堂魔力数学课 [:1700993749]
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12堂魔力数学课 π的身影随处可见
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我们前文中介绍的这些面积、周长和体积公式之中都有π的身影，对此我们不会感到奇怪。但是，在很多我们意想不到的数学领域，竟然也可以看到这个神奇的数字。例如，我们在本书第4章讨论的n!。n!的主要作用是统计某些离散量，与圆没有任何特殊关系。我们知道这个数字的增长速度非常快，而且还没有一个有效捷径可以快速算出它的具体数值。例如，我们仍然需要进行数千个乘法运算才能算出100 000!的数值。但是，我们可以利用“斯特林公式”（Stirling’s approximation），估计n! 的近似值：
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其中，e = 2.718 28…（也是一个非常重要的无理数，我们将在本书第10章对它进行详细讨论）。例如，用电脑计算64!，可以得出：64! = 1.269×1089。根据斯特林公式，。（计算某个数的64次幂，是否有简便方法呢？有的！因为64 = 26，因此我们只需要对64 / e进行6次平方运算就可以了。）
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著名的“钟形曲线”（bell curve），如下图所示，在统计学以及所有的实验科学中都可见到。它的高是，关于它的其他特性，我们将在本书第10章再做具体讨论。
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钟形曲线的高是
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一些无穷级数求和问题中也常常可以看到π。莱昂哈德·欧拉第一个找到了正整数倒数的平方求和公式：
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1 + 1/22+ 1/32+ 1/42+ … = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … = π2/6
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如果上式各项再进行一次平方运算，就可以得到正整数倒数的4次幂的求和公式：
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1 + 1/16 + 1/81 + 1/256 + 1/625 + … = π4/90
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事实上，人们已经找到了正整数倒数的偶数次幂（2k）的求和公式，即π2k与某个有理数的乘积。
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正整数倒数的奇数次幂的求和公式呢？我们将在本书第12章证明正整数倒数的和是无穷大的，但是它们高于1次的奇数次幂之和，例如3次幂：
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1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125 + … = ?
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这个结果并非无穷大。不过，至今还没有人找到一个简便的求和公式。
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奇怪的是，π还出现在一些与概率有关的问题中。例如，如果你随机选择两个非常大的数字，它们没有公共的质因数的概率比60%大一点儿。具体来说，这个概率是6/π2=0 .607 9…，正好是某个无穷级数和的倒数。
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12堂魔力数学课 [:1700993750]
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12堂魔力数学课 π的近似值
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如果仔细测量，我们也可以通过实验的方式得出π的值比3大一点儿的结论。但是，我们难免会想到两个问题：如果没有实际测量数据，我们可以证明π的值与3比较接近吗？是否可以用某个分数或者简单的公式来表示π的值呢？
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第一个问题的答案是肯定的。画一个半径为1的圆，我们知道这个圆的面积是π×12= π。在下图中，我们画了一个边长为2的正方形，并把圆完全包围起来。圆的面积肯定小于正方形的面积，由此可证π< 4。
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