打字猴:1.700998087e+09
1700998087 12堂魔力数学课 [:1700993749]
1700998088 12堂魔力数学课 π的身影随处可见
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1700998090 我们前文中介绍的这些面积、周长和体积公式之中都有π的身影,对此我们不会感到奇怪。但是,在很多我们意想不到的数学领域,竟然也可以看到这个神奇的数字。例如,我们在本书第4章讨论的n!。n!的主要作用是统计某些离散量,与圆没有任何特殊关系。我们知道这个数字的增长速度非常快,而且还没有一个有效捷径可以快速算出它的具体数值。例如,我们仍然需要进行数千个乘法运算才能算出100 000!的数值。但是,我们可以利用“斯特林公式”(Stirling’s approximation),估计n! 的近似值:
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1700998096 其中,e = 2.718 28…(也是一个非常重要的无理数,我们将在本书第10章对它进行详细讨论)。例如,用电脑计算64!,可以得出:64! = 1.269×1089。根据斯特林公式,。(计算某个数的64次幂,是否有简便方法呢?有的!因为64 = 26,因此我们只需要对64 / e进行6次平方运算就可以了。)
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1700998099 著名的“钟形曲线”(bell curve),如下图所示,在统计学以及所有的实验科学中都可见到。它的高是,关于它的其他特性,我们将在本书第10章再做具体讨论。
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1700998105 钟形曲线的高是
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1700998107 一些无穷级数求和问题中也常常可以看到π。莱昂哈德·欧拉第一个找到了正整数倒数的平方求和公式:
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1700998109 1 + 1/22+ 1/32+ 1/42+ … = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … = π2/6
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1700998111 如果上式各项再进行一次平方运算,就可以得到正整数倒数的4次幂的求和公式:
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1700998113 1 + 1/16 + 1/81 + 1/256 + 1/625 + … = π4/90
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1700998115 事实上,人们已经找到了正整数倒数的偶数次幂(2k)的求和公式,即π2k与某个有理数的乘积。
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1700998117 正整数倒数的奇数次幂的求和公式呢?我们将在本书第12章证明正整数倒数的和是无穷大的,但是它们高于1次的奇数次幂之和,例如3次幂:
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1700998119 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125 + … = ?
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1700998121 这个结果并非无穷大。不过,至今还没有人找到一个简便的求和公式。
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1700998123 奇怪的是,π还出现在一些与概率有关的问题中。例如,如果你随机选择两个非常大的数字,它们没有公共的质因数的概率比60%大一点儿。具体来说,这个概率是6/π2=0 .607 9…,正好是某个无穷级数和的倒数。
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1700998128 12堂魔力数学课 [:1700993750]
1700998129 12堂魔力数学课 π的近似值
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1700998131 如果仔细测量,我们也可以通过实验的方式得出π的值比3大一点儿的结论。但是,我们难免会想到两个问题:如果没有实际测量数据,我们可以证明π的值与3比较接近吗?是否可以用某个分数或者简单的公式来表示π的值呢?
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1700998133 第一个问题的答案是肯定的。画一个半径为1的圆,我们知道这个圆的面积是π×12= π。在下图中,我们画了一个边长为2的正方形,并把圆完全包围起来。圆的面积肯定小于正方形的面积,由此可证π< 4。
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