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12堂魔力数学课 [:1700993766]
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12堂魔力数学课 “切”出一个体积最大的纸盒
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数学是科学的语言，数学中用于表述大多数自然法则的是微积分。微积分是描述事物成长、变化与运动情况的数学分支。本章将讨论如何确定函数变化率，如何利用多项式等简单函数近似表示复杂函数等问题。此外，微积分是一个有效的优化工具，在我们希望某个数量最大化（例如利润或容积）或最小化（例如成本或距离）时，可以帮助我们找到答案。
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例如，假设你有一块边长为12英寸的正方形硬纸板（如下图所示）。如果你从4个角上各切掉一个边长为x的正方形，然后把剩余部分做成一个纸盒，那么这个纸盒的最大容积是多少？
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x的值为多少时纸盒的体积最大？
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首先，我们把纸盒的体积表示成x的函数。纸盒的底面积为(12 – 2x) (12 – 2x)，高为x，因此它的体积应该是：
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V= (12 – 2x)2x
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我们的任务是确定x取什么值时纸盒的体积最大。x的值不能太大，也不能太小。例如，如果x= 0或x= 6，纸盒的体积都是0。因此，x的值应该在0到6之间。
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我们画出x在0到6之间变化时函数y= (12 – 2x)2x的图像。当x=1时，我们可以计算出体积y= 100。当x= 2时，y= 128。当x= 3时，y= 108。看起来，x= 2有可能是最佳答案。不过，在1和3之间会不会有某个实数，让盒子的体积最大呢？
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函数y= (12 – 2x)2x在最大值处有一条水平切线
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在最大值的左侧，函数呈上升趋势，斜率为正值；在最大值的右侧，函数呈下降趋势，斜率为负值。因此，在最大值处，函数值既不再增大，也不再减小。用数学语言表述，就是最大值处有一条水平切线（斜率为0）。本章将讨论如何利用微积分，在0到6之间找出有水平切线的那个点。
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说到切线，我们将在本章看到种类繁多的切线。例如，我们刚才考虑的那个问题是找到切掉正方形硬纸板的四角的最佳方法。事实上，本章中有很多问题都是关于如何切掉边角的。微积分这门课程的内容极其丰富，常用教材的篇幅往往超过1 000多页。囿于篇幅，本书只关注其中最重要的内容，主要讨论“微分学”（integral calculus，研究函数的增长与变化情况），而不涉及“积分学”（differential calculus，计算复杂对象的面积与体积）。
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最容易分析的函数就是直线。我们在本书第2章了解到直线y=mx+b的斜率为m。也就是说，如果x增加1，y增加m。例如，直线y= 2x+ 3的斜率为2，如果x的值增加1（比如从x= 10增加到x= 11）时，y就会增加2（从23增加到25）。
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在下图中，我们画出了若干条直线的图像。其中，y= –x的斜率为–1，水平直线y= 5的斜率为0。
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直线的图像
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取任意两点，我们都可以画出一条经过这两点的直线。而且，无须知道这条直线的函数表达式，就可以确定它的斜率。如果直线经过点 (x1,y1) 和 (x2,y2) ，我们就可以根据“高度差与水平距离之比”这个公式计算出它的斜率：
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m=
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在直线y= 2x+ 3上任取两点，例如(0, 3) 和 (4, 11)，那么连接这两点的直线斜率为m== (11 –3)/(4 – 0) = 8 / 4 = 2。计算结果与我们通过观察方程式得到的结果一致。
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接下来，我们考虑函数y=x2+ 1（如下图所示）。该函数图像不是一条直线，它的斜率一直在变化。请大家计算点 (1, 2)处切线的斜率。
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