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12堂魔力数学课 [:1700993767]
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12堂魔力数学课 最大值、最小值与临界点
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求导运算可以帮助我们确定函数值在何时达到最大或最小。例如，试求抛物线y=x2– 8x+ 10的最低点的x值。
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当y’= 0时抛物线y=x2– 8x+ 10处于最低点
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抛物线最低点处的切线斜率必然等于0。由于y’= 2x– 8，解方程式2x– 8 = 0可知，当x= 4时函数的值最小（y= 16 – 32 + 10 = –6）。对于函数y=f(x)，满足f‘ (x) = 0的x值叫作函数f的“临界点”（critical point）。例如，函数y=x2– 8x+ 10只有一个临界点：x= 4。
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函数值在什么时候最大呢？在上述问题中，由于y=x2– 8x+10的值可以任意大，因此该函数没有最大值。但是，如果x位于某个区间内，例如，0 GxG 6，那么y值将在其中一个端点处达到最大。在这个例子中，我们发现当x= 0时，y= 10；当x= 6时，y= –2。因此，该函数值在端点x= 0处达到最大。在一般情况下，我们有下面这条重要定理。
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定理（最优化定理）：如果可导函数y=f(x)在点x*处达到最大或最小值，那么x*一定是函数f的临界点或者一个端点。
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我们再思考一下本章开头提出的纸盒体积问题。要解决这个问题，就需要求出下列函数的最大值（x的值必须在0至6之间）：
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y= (12 – 2x)2x= 4x3– 48x2+ 144x
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也就是说，我们希望找出y值最大时x的值。由于这个函数是一个多项式，因此我们可以求出它的导数：
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y’= 12x2– 96x+ 144 = 12(x2– 8x+ 12) = 12(x– 2)(x– 6)
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也就是说，该函数有两个临界点：x= 2和x= 6。
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在端点x= 0和x= 6处，纸盒的体积为0，也就是说，体积最小。在另外一个临界点x= 2，体积最大，即y= 128立方英寸[1]。
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12堂魔力数学课 [:1700993768]
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12堂魔力数学课 一个关于奶牛的微积分问题
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可以求导的函数越多，我们能够解决的问题就越多。微积分中最重要的函数可能是指数函数y= ex。这个函数之所以十分特殊，是因为它的导数与原函数相同。
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定理：如果y= ex，那么y’= ex。
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延伸阅读
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f(x) = ex为什么满足f‘(x) = ex呢？现在，我们来探讨其中的原因。我们注意到：
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现在，请大家回想一下e的定义：
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