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12堂魔力数学课 [:1700993768]
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12堂魔力数学课 一个关于奶牛的微积分问题
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可以求导的函数越多，我们能够解决的问题就越多。微积分中最重要的函数可能是指数函数y= ex。这个函数之所以十分特殊，是因为它的导数与原函数相同。
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定理：如果y= ex，那么y’= ex。
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延伸阅读
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f(x) = ex为什么满足f‘(x) = ex呢？现在，我们来探讨其中的原因。我们注意到：
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==
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现在，请大家回想一下e的定义：
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e =( 1+)n
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从定义可以看出，随着n不断增大，(1 + 1 /n)n将会趋近e。现在，令h= 1 /n。当n非常大时，h= 1 /n就会趋近0。也就是说，当h趋近0时：
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e ≈ (1 +h)1/h
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等式两边同时求h次幂，根据指数法则(ab)c=abc，可以得到：
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eh≈ 1 +h
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也就是说：
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≈ 1
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因此，当h趋近0时，趋近1，趋近ex。证明完毕。 □
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是否还有其他函数与它们的导函数相同呢？有，但所有符合条件的都是y=cex（x为实数）这种形式的函数。（注意，c= 0时函数也符合条件，我们得到的是常数函数y= 0。）
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我们已经知道，函数相加时，和的导数就是导数的和。函数乘积的导数呢？千万注意，乘积的导数并不是导数的乘积。不过，从下面的定理可以看出，乘积的导数也不难求。
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定理（函数积求导法则）：如果y=f(x)g(x)，那么：
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y’=f(x)g‘ (x) +f‘ (x)g(x)
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例如，在求y=x3ex的导数时，我们令f(x) =x3，g(x) = ex，就有：
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y’=f(x)g‘ (x) +f‘ (x)g(x)