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12堂魔力数学课 [:1700993769]
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12堂魔力数学课 泰勒级数与你的银行存款
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在上一章的结尾部分证明欧拉公式的过程中，我们使用了下面这些神秘的公式：
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ex= 1 +x+++ …
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cosx= 1 –++ …
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sinx=x–++ …
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我们先针对这些公式做一些小游戏，再探究它们的由来。请大家对ex级数中的各项求导，并观察得到的结果。例如，根据幂函数求导公式，x4/ 4! 的导数是 (4x3) / 4! =x3/ 3!，正好是它的前一项。换句话说，如果对ex级数求导，结果仍然是这个级数，这与我们了解到的ex的特性一致。
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对x–x3/ 3! +x5/ 5! –x7/7! + …这个级数逐项求导，就会得到1–x2/2! +x4/4! –x6/6! + …，与正弦函数的导数是余弦函数这个结论一致。同样，对余弦级数求导，就会得到正弦级数的相反数。此外，请大家注意，我们从余弦级数可以得出cos0 = 1，而且由于所有的指数都是偶数，因此cos(–x)的值与cosx相等，这与我们了解到的余弦函数的特性一致。[例如，(–x)4/4! =x4/4!。]正弦级数的情况与之相似，我们发现sin0 = 0，同时，由于所有指数都是奇数，因此sin(–x) = –sinx。
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现在，我们来研究这些公式是如何产生的。本章已经介绍了大多数常用函数的求导方法，但有时候我们需要对函数进行多次求导，计算该函数的二阶、三阶甚至多阶导数，记作f”(x)、f”’ (x)等。二阶导数f”(x)表示点[x,f(x)]处函数斜率的变化率（亦称函数的凹凸性）。三阶导数表示二阶导数斜率的变化率，以此类推。
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上面这些神秘的公式以英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor，1685—1731）的名字命名，叫作“泰勒级数”。如果函数f(x) 有导数f‘(x)、f”(x)、f”’(x)等，那么在x取任意“十分接近”0的值时，都有：
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f(x) =f(0) +f‘(0)x+f”(0)+f”’(0)+f””(0)+ …
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“十分接近”是什么意思？对于某些函数而言，例如ex、sinx和cosx，x的所有值都十分接近0。但我们以后会发现，对于某些函数而言，x的值必须非常小，泰勒级数才会十分接近函数值。
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我们来看幂函数f(x)= ex的泰勒级数。由于ex就是它自身的一阶（二阶、三阶……）导数，因此：
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f(0) =f‘(0)=f”(0) =f”’(0) = … = e0= 1
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也就是说，ex的泰勒级数是1 +x+x2/2! +x3/3! +x4/4! + …，这与前面给出的结果一致。当x比较小时，我们只需计算为数不多的几项，就可以得出与确切答案非常接近的结果了。
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我们用泰勒级数来计算存款的复利。在上一章，如果我们在银行里存1 000美元，年利率为5%，按连续复利的方式结算利息，那么到年底时，银行账户的金额就会变成1 000e0.05= 1 051.27美元。利用泰勒多项式得到的二阶近似值是：
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1 000 [1 + 0.05 + (0.05)2/2!] = 1 051.25美元
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三阶近似值是1 051.27美元。
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下图是函数y= ex以及它的前三阶泰勒多项式的图像，以展现泰勒级数逼近函数值的效果。
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