1701000711
12堂魔力数学课 [:1700993773]
1701000712
12堂魔力数学课 调和级数奏出的优美乐曲
1701000713
1701000714
如果无穷级数的和是一个（有限）数，我们就说它收敛（converge）于该数。如果某个无穷级数不收敛，我们就说它是一个发散（diverge）级数。在一个收敛的无穷级数中，所有数字必须趋近0。例如，无穷级数1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … 收敛于2。请大家注意观察，该级数的各个项，即1、1/2、1/4、1/8等越来越接近0。
1701000715
1701000716
但是，这句话反过来说却不成立。即使各项都趋近0，级数本身仍然有可能是发散的。这方面的一个重要实例就是“调和级数”（harmonic series）。调和级数之所以得此名称，是因为古希腊人发现，如果琴弦长度与1、1/2、1/3、1/4、1/5…成比例关系，就可以弹奏出悦耳动听的音乐。
1701000717
1701000718
定理：对于调和级数，有：
1701000719
1701000720
1701000721
1701000722
1701000723
1701000724
1 +++++ … = ∞
1701000725
1701000726
证明：要证明调和级数的和为无穷大，就需要证明它的和可以是任意大的数字。我们先根据分母，将各项分到不同的组中。可以看出，调和级数的前9项都大于1/10，因此：
1701000727
1701000728
1701000729
1701000730
1701000731
1701000732
1701000733
1701000734
1701000735
1701000736
1701000737
1 ++++++++>
1701000738
1701000739
接下来的90项都大于1/100，因此：
1701000740
1701000741
1701000742
1701000743
1701000744
1701000745
1701000746
1701000747
+++ … +> 90×=
1701000748
1701000749
同理，再接下来的900项都大于1/1 000，因此：
1701000750
1701000751
1701000752
1701000753
1701000754
1701000755
1701000756
1701000757
+++ … +>=
1701000758
1701000759
之后还有：
1701000760