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1701000711 12堂魔力数学课 [:1700993773]
1701000712 12堂魔力数学课 调和级数奏出的优美乐曲
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1701000714 如果无穷级数的和是一个(有限)数,我们就说它收敛(converge)于该数。如果某个无穷级数不收敛,我们就说它是一个发散(diverge)级数。在一个收敛的无穷级数中,所有数字必须趋近0。例如,无穷级数1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … 收敛于2。请大家注意观察,该级数的各个项,即1、1/2、1/4、1/8等越来越接近0。
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1701000716 但是,这句话反过来说却不成立。即使各项都趋近0,级数本身仍然有可能是发散的。这方面的一个重要实例就是“调和级数”(harmonic series)。调和级数之所以得此名称,是因为古希腊人发现,如果琴弦长度与1、1/2、1/3、1/4、1/5…成比例关系,就可以弹奏出悦耳动听的音乐。
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1701000718 定理:对于调和级数,有:
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1701000724 1 +++++ … = ∞
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1701000726 证明:要证明调和级数的和为无穷大,就需要证明它的和可以是任意大的数字。我们先根据分母,将各项分到不同的组中。可以看出,调和级数的前9项都大于1/10,因此:
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1701000737 1 ++++++++>
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1701000739 接下来的90项都大于1/100,因此:
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1701000747 +++ … +> 90×=
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1701000749 同理,再接下来的900项都大于1/1 000,因此:
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1701000757 +++ … +>=
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1701000759 之后还有:
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