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12堂魔力数学课 [:1700993774]
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12堂魔力数学课 不可思议的无穷和
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回顾一下到目前为止我们接触到的无穷和。
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在本章开头，我们讨论了：
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1 +++++ … = 2
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我们发现，这是等比数列的一个特例。等比数列公式指出，对于任意x，只要 –1
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1 +x+x2+x3+x4+ … =
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注意，当x为0到–1之间的负数时，等比数列公式同样有效。例如，如果x= –1/2，则：
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各项交替为正负数且趋于0的级数叫作“交错级数”，交错级数一定会收敛于某个数。在理解上面这个交错级数时，我们可以画一条实数线，并把手指放在数字0的位置上。然后，把手指向右移动1个单位，再向左移动1/2个单位，再向右移动1/4个单位（这时候，你的手指应该在3/4的位置上），再向左移动1/8个单位（此时，你的手指应该在5/8的位置上）。以此类推，你的手指将在某个数字附近来回移动（在本例中，这个数字是2/3）。
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现在，请大家观察下面这个交错级数：
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1 –+–+–+ …
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看完前4项之后，我们知道这个无穷级数的和至少是1–1/2 + 1/3 – 1/4 = 7/12 = 0.583…；看完前5项之后，我们知道这个无穷级数的和至多是1–1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 = 47/60 = 0.783…。这个级数的和是0.693 147…，在上述两个数字中间偏右的位置。利用微积分，我们可以算出这个和的确切值。
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我们先上一道“开胃小菜”。请大家写出等比数列：
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