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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001363]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第3部分 形状
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001364]
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第12章 跳舞的正方形与勾股定理
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你高中时最喜欢的数学课程是什么？
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我猜一定是几何学。
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这么多年来，很多人向我表达过他们对几何学的好感。人们喜欢几何学是不是因为很多人喜欢运用视觉思维，喜欢使用右脑，从而觉得图像化的几何学远远好过那些抽象冷漠的纯逻辑推导？也许吧。但是，也有人告诉我，他们喜欢几何学，正是因为几何严密、完美地遵从着逻辑。的确，几何学是一步一个脚印的扎实逻辑推导，每一个新定理都是从已经证明的旧定理一丝不苟地严密推导而来的。对很多人来说，这种绝对的逻辑性和理性，正是几何学的魅力所在。
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不过就我个人看来（首先声明，我非常喜欢几何学），人们之所以喜欢几何学，并非因为它有绝对严密的逻辑性，而是因为几何学是逻辑和直觉的完美结合。当我们能够同时使用我们的左脑和右脑，总是特别令人开心的一件事。
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为了充分阐述几何学的美，以及几何学带给人们的快乐，我们需要再次提到我们的老朋友勾股定理。你可能还记得，勾股定理的公式是a2＋b2=c2。下面我们要来仔细地研究一下勾股定理。我们的目标之一是，理解什么是a2＋b2=c2，并且搞清楚为什么这个公式是非常重要的。除此之外，我们还会看到，勾股定理的证明方法有两种，虽然这两种证明方法无疑都是正确的，我却想试着向大家解释一下，为什么其中一种证明方法比另一种证明方法更加“优雅”。
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勾股定理考虑的是直角三角形的问题。所谓直角三角形，就是其中一个角为90度的三角形。直角三角形是一种很重要的形状，如果你把长方形沿着对角线切成两半，你就会得到两个直角三角形。
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既然长方形在各个领域中都如此常见，显然直角三角形也是一种我们常常会见到和用到的重要形状。
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比如，在地质勘察的时候，就会遇到直角三角形。如果你着手丈量一块长方形的地块，那么你很可能想知道从这块地的一个角到它的对角的距离有多长。（实际上，这正是几何学最早的起源。几何学是因为丈量土地的需要而产生的。在英文中，几何学这个词geometry可以划分成两个词根，geo是“土地”的意思，metry则是“丈量”的意思。）
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勾股定理告诉我们，一个直角三角形的斜边长度和两条直角边长度之间存在什么关系。如果直角三角形的两条直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，那么根据勾股定理，这个直角三角形的斜边c与两条直角边a、b的关系是：
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a2＋b2=c2
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在英语中，直角三角形的斜边叫作hypotenuse，这个词的字面意思是“下方的长度”（hypo指在某物下方，tenuse是长度的意思）。我始终没有搞清楚“斜边”一词为何字面表达为“下方的长度”。（有没有懂拉丁语或希腊语的学者来为我解答一下？）tenuse在希腊语中不仅表示长度，还有“拉伸、绷直”的意思，斜边看起来确实像一条绷紧的弦，但“下方”这层意思则实在令人感到困惑。
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先暂时抛开词源学的问题，我们还是来看看勾股定理。为了简化问题，我们取几个最方便计算的数值，假设a=3码、b=4码，我们的目标是求出未知的斜边长度，也就是c的值。好，现在让我们穿上“法衣”，大声念出我们的咒语：3的平方加上4的平方，也就是9加上16（注意现在这些数字的单位都是平方码，因为我们对数字进行了平方，就要同时把数字后面的单位也平方一下，这样才不会出错）。9＋16=25，也就是说c2=25，等式两边开平方，我们算出c=5码，即这个直角三角形的斜边长度是5码。
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从这个角度来看勾股定理，似乎勾股定理是一个关于长度的定理。但是，在几何学的传统上，勾股定理一直被认为是一个关于面积的定理。为什么呢？让我换一种说法，你就明白了。勾股定理还可以表述为：
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斜边上的方等于两条直角边上的方之和。
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你可能从没听说这种说法，甚至根本不明白这句话是什么意思。让我来给你解释一下，斜边上的方并不是指斜边的平方，它真的就是字面的意思：斜边上面的那个正方形。平方是一个代数的概念，而斜边上面的正方形则完完全全是几何学的概念。但是，斜边上的正方形到底是什么样子的呢？让我来画给你看。
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