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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001373]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第20章 用微积分方程来分析爱情与三体问题
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“在春天，”阿尔弗雷德·丁尼生写道，“年轻人的幻想总是会悄悄地转变为情思。”可惜，年轻人心仪的姑娘却又有着她们自己的小心思。情人之间的你来我往总是生出无穷无尽的快乐和痛苦、幸福和折磨，也正是因为如此，情场如战场，新的爱情就像新的战役一般，惊心动魄而又令人肝肠寸断。为了寻找爱情的答案，有人诉诸酒精，有人寄情于诗歌，而我们则向微积分寻求帮助。
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对爱情的微积分分析也许只是一个数学玩笑，但它却说明了一个十分深刻的道理：就算我们永远研究不出爱人之心的规律，世界上很多无生命物体的规律却早已被数学家们所参透。这些规律是用微分方程的形式来表达的。微分方程可以用于描述互相关联的变量之间的联系，解释这些变量如何随着时间和自身的当前状况而变化。至于微分方程和爱情有什么关系，我想说，至少微分方程可以在一定程度上解释为什么“真爱之路永远不会是平坦的”。
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为了详细解释这种对爱情的微积分分析方法，让我们借用一下罗密欧和朱丽叶的故事。罗密欧深爱着朱丽叶，但是，在我们这个版本的故事里，朱丽叶却是一个反复无常的姑娘。罗密欧越爱她，朱丽叶就越想躲避和逃离。一旦罗密欧因受到刺激而准备放弃，朱丽叶便会觉得这种冷淡具有莫名的吸引力。罗密欧总是跟随着朱丽叶的脚步，当朱丽叶爱他的时候，他更热情似火；当朱丽叶恨他的时候，他的热情也会冷却下来。
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那么，这对不幸的恋人的爱情将会如何呢？随着时间的流逝，他们俩的爱情走势会怎样？这时候微积分该大显身手了。我们可以用微分方程来描述罗密欧和朱丽叶会如何回应对方的感情变化。只要解出这些方程式，我们就能预测这场爱情的走向和归宿。不幸的是，我们的分析显示，这对恋人的关系将会是一个无休无止的爱恨交缠的循环。幸运的是，这对恋人还有1/4情投意合的甜蜜时光。
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这幅图是怎么画出来的呢？首先，我们假设罗密欧的行为可以用如下的微分方程式来表示：
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这个方程式描述了罗密欧的感情R在下一个瞬间dt会发生怎样的变化。罗密欧的感情变化dR等于一个常数乘以朱丽叶当前对他的感情J。这个方程式完全符合我们之前的假设：只要朱丽叶爱他，罗密欧的爱情就会升温。但是，这句话非常笼统，这个方程式却非常具体：罗密欧的感情变化和朱丽叶当前的爱正相关，而且两者之间的关系是线性的。也许这个假设从爱情的角度来说并不合理，很难说爱情到底是线性的还是非线性的，但是这个假设大大地简化了我们的问题。
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朱丽叶的爱可以用如下的微分方程式来表示：
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常数b前面的负号说明朱丽叶是一个性情很古怪的姑娘，罗密欧对她越热情，她反而越冷淡。
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现在，方程式已经有了，我们还需要一个初始条件：在故事的一开始，这对恋人的感情是怎样的呢（也就是当t=0的时候，R和J的值分别是什么）？初始条件和方程式都确定以后，这场爱情的结果也就注定了。根据这两个方程式，我们可以用电脑来模拟R和J的变化，看看随着时间的流逝，这两个变量是如何变化的。实际上，在微积分基本定理的帮助下，我们还可以做得更好。我们可以直接用函数表达出R和J的动向，从而轻松地预测出在未来的任意一个时刻，罗密欧和朱丽叶会怎样深爱或仇恨着对方。
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如果你是一个物理系的学生，上面这两个微分方程你应该觉得非常眼熟：罗密欧和朱丽叶的感情就像物理学中的谐振子一样。根据我们这个模型的预测，描述罗密欧和朱丽叶的感情发展的函数R(t) 和J(t)将会是两个正弦波，这两个正弦波此消彼长，一直不能同步。
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我们还可以对这个简化的模型进行一些改进，从而让它变得更加现实。比如，罗密欧的感情变化不仅受到朱丽叶感情的影响，还受到他自身感受的影响。比如，有些男人总怕自己对女友太过热情会令对方生厌，所以这些人会在自己感情强烈的时候刻意让自己冷静下来，或许罗密欧正是这样的人。但罗密欧也有可能属于另一种截然相反的性格：他对“恋爱的感觉”远超过爱对方，这种人越爱对方，就越会被恋爱的感觉所陶醉，从而爱得更加热烈。
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除了上面的两种不同的性格之外（对自己感情的反应），罗密欧如何回应朱丽叶对他的感情也有两种不同的可能性（正反馈和负反馈）。综合这两点，我们可以发现，恋人可能有4种不同类型的性格，不同情侣之间的恋爱关系也会因此大相径庭。当我和同事彼得·克里斯托弗在伍斯特理工学院教书的时候，我们两人班上的学生甚至还给这4种恋爱性格类型起了五花八门的名字。那种会自动给自己炙热的感情降温，对对方的感情也会给出负反馈的恋人，被命名为“隐士”或“恶毒的孤独者”；而自己会越爱越兴奋的人，被叫作“书呆子自恋狂”或者“不会爱又非要调情的神经病”（你也可以自己给这几种类型起几个名字，我觉得挺好玩的）。
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虽然我举出的这些例子可能古怪又好笑，但其中用到的那些微分方程式却绝对是深刻实用的。人类发明了许许多多的工具来解释物质世界，到目前为止，微分方程是这些工具中最好用的。牛顿用微分方程式解开了困扰人类多年的难题——星体的运动问题。通过研究，牛顿证明了地球和其他天体并无本质区别，它们都服从同样的运动定律。
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在牛顿去世后的近350年的时间里，人类慢慢地认识到，所有物理定律都是用微分方程式来表达的。热传导的规律是微分方程式，水和空气的流动规律是微分方程式，电和磁的规律是微分方程式，就连陌生而违背直觉的原子领域和量子力学也都是微分方程式的天下。
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不管研究的对象是什么，整个理论物理学科都在做同一件事：找到合适的微分方程式，并且想办法把它求解出来。牛顿发现了宇宙的秘密，因为这个秘密太过珍贵，牛顿只肯以拉丁语字谜的形式把这个秘密公之于众。粗略地翻译一下，牛顿发现的宇宙的秘密就是：解微分方程式真有用。
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而我又是如何发现爱情的微分方程式的呢？在我大二那年的暑假，我陷入了人生中第一次浪漫的爱情。我的初恋对象是一个性情古怪的姑娘，她总是做些令我完全无法理解的事情。在绞尽脑汁研究她的行为和动机的过程中，我发明了本章开头的微分方程爱情模型，这一想法是多么智慧，看上去又是多么愚蠢。当年的我就像本章一开头说的罗密欧一样，而我爱的人正是那个反复无常的朱丽叶。我们的爱情总是在反复，永远不能同步。终于我意识到，我和她的行为都是机械的，我们其实一直在以两个简单的方程式为准则，没完没了地你拉我扯、你进我退。我以为自己参透了爱情的奥秘。可惜，在那年夏天快结束的时候，我的微积分方程爱情模型似乎也不管用了，而我更是无法参透其中的原因。最后我发现，原来我的模型根本少计算了一个变量，一个我不知道的变量——她有一个想和她再续前缘的前男友。
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这样的情形在数学上叫作“三体问题”，这类问题产生于天文学领域，是出了名的难题。在成功解出了“两体问题”的微分方程式（从而解释了为什么行星沿椭圆轨道绕太阳旋转）以后，牛顿转攻太阳、地球、月亮之间的“三体问题”。然而，天才的牛顿没能解出三体问题，其他人更是没有成功。后来，数学家们发现，原来三体问题蕴含着“混沌”的种子，从长期来看，三体的行为和运动是不可预测的。
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在牛顿的时代，还没有混沌这个概念，有聪慧头脑的牛顿也不知道什么是“混沌系统”。牛顿的朋友埃德蒙·哈雷说，牛顿曾向他抱怨三体问题太难解决。牛顿说：“三体问题让我很头痛，为了这个问题我常常睡不着觉。我想不出来了，我不得不放弃这个问题。”
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亲爱的艾萨克·牛顿爵士，你真是说出了我的心声。
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